让$X = \left( {{X_1},...,{X_n}} \right) \sim \mathcal{N}\left( {{\mathbf{\mu }},{\mathbf{\Sigma }}} \right)$ 是一个高斯随机向量和$I = \mathop {\arg \max }\limits_{i = 1,n} {X_i}$.

$I$有概率质量函数

$\mathbb{P}\left( {I = i} \right) = \mathbb{P}\left( {{X_i} = \mathop {\max {X_j}}\limits_{j = 1,n} } \right) = \mathbb{P}\left( {{X_i} - \mathop {\max {X_j}}\limits_{j \ne i} > 0} \right)$

和数学期望

$\mathbb{E}I = \sum\limits_{i = 1}^n {i\mathbb{P}\left( {I = i} \right)}$

一般来说，对于大的 和任意协方差矩阵，计算是非常困难的，因为它需要对高维正态正交积分进行数值评估。因此，除了具有对角协方差矩阵的 IID 和 INID 情况，带状协方差矩阵和退化情况，例如，在（以及 ） 的简单、易于评估的数值近似 ？$n$${\mathbf{\Sigma }}$$\mathbb{E}I$${\mathbf{\Sigma }}$${\mu _j} \gg {\mu _{i \ne j}}$${\mathbf{\Sigma }}$$\mathbb{E}I$$\mathbb{V}I$

我感兴趣的协方差矩阵 ${\mathbf{\Sigma }}$

直到现在，我还没有找到关于这个问题的任何信息。

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