机器算法验证 - 证明(一种− 1+乙− 1)− 1= A ( A + B)− 1乙(A−1+B−1)−1=A(A+B)−1B - 吾爱随笔录

证明(一种− 1+乙− 1)− 1= A ( A + B)− 1乙(A−1+B−1)−1=A(A+B)−1B

机器算法验证矩阵线性代数逆矩阵

2022-03-27 10:32:56

我有这个等式其中和是正方形对称矩阵。

(A^{- 1} + B^{- 1})^{- 1} = A (A + B)^{- 1} B

$(A^{-1} + B^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B$

A

$A$

B

$B$

我已经对 R 和 Matlab 进行了许多测试，表明这一点是成立的，但是我不知道如何证明这一点。

2个回答

假设、、和都是可逆的，请注意 $A$ $B$ $A+B$ $A^{-1}+B^{-1}$

A^{- 1} + B^{- 1} = B^{- 1} + A^{- 1} = B^{- 1} (A + B) A^{- 1}

$A^{-1} + B^{-1} = B^{-1} + A^{-1} = B^{-1}(A+B)A^{-1}$

然后反转两边，QED。

保持对称是不必要的。

注意

A {(A + B)}^{- 1} B

$\mathbf{A} \left(\mathbf{A} + \mathbf{B} \right)^{-1} \mathbf{B}$

是的倒数

(A^{- 1} + B^{- 1})

$\left(\mathbf{A}^{-1} + \mathbf{B}^{-1} \right)$

当且仅当

A {(A + B)}^{- 1} B (A^{- 1} + B^{- 1}) = I

$\mathbf{A} \left(\mathbf{A} + \mathbf{B} \right)^{-1} \mathbf{B} \left(\mathbf{A}^{-1} + \mathbf{B}^{-1} \right) = \mathbf{I}$

和

(A^{- 1} + B^{- 1}) A {(A + B)}^{- 1} B = I

$\left(\mathbf{A}^{-1} + \mathbf{B}^{-1} \right) \mathbf{A} \left(\mathbf{A} + \mathbf{B} \right)^{-1} \mathbf{B} = \mathbf{I}$

使左右倒数重合。让我们证明第一个陈述。我们可以看到

\begin{aligned} A {(A + B)}^{- 1} B (A^{- 1} + B^{- 1}) & = A {(A + B)}^{- 1} (B A^{- 1} + I) \\ = A {(A + B)}^{- 1} (A + B) A^{- 1} \\ = I \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{A} \left(\mathbf{A} + \mathbf{B} \right)^{-1} \mathbf{B} \left(\mathbf{A}^{-1} + \mathbf{B}^{-1} \right) & = \mathbf{A} \left(\mathbf{A} + \mathbf{B} \right)^{-1} \left(\mathbf{B} \mathbf{A}^{-1} + \mathbf{I} \right) \\ &= \mathbf{A} \left(\mathbf{A} + \mathbf{B} \right)^{-1} \left( \mathbf{A} + \mathbf{B} \right) \mathbf{A}^{-1} \\ & = \mathbf{I} \end{align}$

如预期的。类似的技巧也将证明第二个陈述。因此确实是。 $\mathbf{A} \left(\mathbf{A} + \mathbf{B} \right)^{-1} \mathbf{B}$ $\left(\mathbf{A}^{-1} + \mathbf{B}^{-1} \right)$

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