机器算法验证 - 泊松二项分布的众数是否靠近均值？ - 吾爱随笔录

泊松二项分布的众数是否靠近均值？

机器算法验证模式泊松二项分布

2022-03-06 13:56:16

泊松二项式变量 $X\sim PB(p_1, \dots, p_n)$ 是总和 $n$ 独立的，不一定同分布的伯努利变量 $X_1, \dots, X_n$ ：

X = \sum_{i = 1}^{n} X_{i},

$X=\sum_{i=1}^n X_i,$ 和

X_{i} \sim B e r (p_{i})

$X_i\sim Ber(p_i)$ .

Poisson-Binomial 分布是单峰的，并且 $\mathbb E[X]=\sum_{i=1}^np_i=\mu.$

问题：模式是否总是这样 $\lfloor \mu \rfloor$ 或者 $\lceil \mu \rceil$ ?

在我看来，情况就是这样。PB 分布是二项分布的推广，具有较低或相等的熵。因此，概率质量在某种意义上更集中在均值附近，这表明答案是肯定的。

我做了一些数值实验，并没有找到反例，这更加坚定了我的怀疑。

2个回答

Darroch, JN “关于独立试验成功次数的分布。” 数理统计年鉴 35.3（1964）：1317-1321，

证明泊松二项式变量的众数满足以下条件：

m o d e = {\begin{cases} k i f k \leq μ \leq k + \frac{1}{k + 2}, \\ k o r k + 1 i f k + \frac{1}{k + 2} \leq μ \leq k + 1 - \frac{1}{n - k + 1}, \\ k + 1 i f k + 1 - \frac{1}{n - k + 1} \leq μ \leq k + 1. \end{cases}

$\begin{equation} mode= \begin{cases} k \hspace{3mm}if\hspace{3mm}k \leq \mu \leq k+\frac{1}{k+2},\\ k \hspace{3mm}or\hspace{3mm} k+1\hspace{3mm}if\hspace{3mm} k+\frac{1}{k+2} \leq \mu \leq k+1 - \frac{1}{n-k+1},\\ k+1\hspace{3mm}if\hspace{3mm}k+1 - \frac{1}{n-k+1} \leq \mu \leq k+1. \end{cases} \end{equation}$

因此，众数与平均值的差异最多 $1$ . 请注意，泊松二项分布可以有一个或两个连续模式。

我在 Samuels 的一篇论文中找到了答案：

Samuels, Stephen M. “关于独立试验的成功次数。” 数理统计年鉴 36.4（1965）：1272-1278。

作为定理 1 的结果，我们有如果有一个整数 $k$ 令人满意的

k \leq μ \leq k + 1

$k\leq \mu \leq k+1$ 然后

P r (X = k - 1) < P r (X = k) and P r (X = k + 1) > P r (X = k + 2) .

$Pr(X=k-1)<Pr(X=k) \text{ and } Pr(X=k+1)>Pr(X=k+2).$ 所以答案是肯定的。

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