1) 来自具有分布的总体的一组随机观测值是来自该分布的样本。因此，即使是从正态总体中采样的单个值也呈正态分布。（好吧，更严格地说，代表单次平局的随机变量是正态分布的。）$F$

2) 如果观测值是从正态分布中独立抽取的，则样本均值是正态的。（如果它们是依赖的，那么依赖结构是什么很重要。）

3）如果数据是从正常人群中抽取的独立同分布的，那么这将是 t 分布的：t 统计量。（我们得到一些不正常的东西，因为有一个分子和一个分母）

我知道小样本往往分布不均

这是一种错误的理解。这种理解是建立在什么基础上的？

[这似乎是一种常见的误解，我只能假设它出现在某处流行或曾经流行的书中。如果您确实找到了这样一本书，请在您的问题或评论中发布详细信息，因为我很想知道它来自哪里。]

如果您打算从正态分布的总体中获取一个值，则该值具有与总体相同的概率密度函数。所以任何平局$x_{i}$从人口$X \sim N(\mu, \sigma ^{2})$将来自相同的人口分布$N(\mu, \sigma ^{2})$

所以这意味着小样本仍然是正态分布的，对吧？好吧，当然，如果每次抽奖都来自正态分布，那么它本身将具有正态分布（至少在我们实际进行抽奖之前）。

好像你在问$\bar{x}$，因为我们讨论的是样本、t 分布等。$\bar{x}$ 不是对于小样本仍然是正常的，虽然因为每次观察$x_i$具有正态分布。为什么？因为它只是其他正态随机变量的总和！

Glen_b 在我混为一谈的地方取得了不错的成绩$\bar{x}$和$t$-统计。重要的是要注意，虽然$\bar{x}$对于任何样本大小仍然是正常的（如果从中抽样的总体是正常的），$t$对于小样本量，从 Normal 样本构建的统计数据不是 Normal 的。为什么？

好吧，我们这里有两个不同的案例。有可能分布是已知的，在这种情况下，我们知道$\sigma^{2}$. 也有可能$\sigma^{2}$未知，在这种情况下，我们将不得不估计它。

1：我们知道$\sigma^{2}$. 这意味着我们可以使用$z$直接从总体参数计算的统计量$\sigma^2$.

如果我们确定$\sigma^{2}$，然后我们可以执行例如假设检验$\bar{x}$使用分布$N(\mu, \frac{\sigma ^{2}}{\sqrt{n}})$. 特别是，我们可以对其进行标准化，将其转化为一个值$Z$, 分布为$N(0, 1)$如果我们知道$\sigma^{2}$，那么我们可以只使用标准正态分布进行计算。这是正常的，无论我们的样本有多大或多小！

2：我们不知道$\sigma^{2}$, 所以我们估计它$s^2$.

如果我们不知道$\sigma^{2}$，那么我们需要用估计量的计算值代替真实的总体值。通常，这将是$s^2$，样本方差。但是样本方差也有自己的分布！所以我们实际上并不确定它的价值。如果我们的样本量很小，那么“样本方差的方差”就足以影响方式$\bar{x}$是分布式的。所以当我们标准化$\bar{x}$，它不再是正态分布的，即使所有的$x_i$计算它是分布正态的。

有关更多信息，请阅读t 分布的定义和样本方差的分布。