正如@Xi'an 所指出的，OP 的问题实际上是关于$n$半径的维球$r$, 距离不超过的点集$r$从球的中心开始，而不是均匀分布在球上$n$维超球面，它是球的表面（距离精确的点的集合 $r$从中心）。请注意，假设$n$随机变量具有恒定值$V^{-1}$在哪里$V$是球的体积。这与假设随机点的距离均匀分布在$[0,r]$（或者$[0,r)$对于那些不想包括超球面的人）。

几乎整个体积$n$维球靠近表面。这是因为$V$正比于$n$-球半径的次方，以及$r^n$是一个增长非常快的函数。即使在$3$-空间，$\frac 78 = 1 - \left(\frac 12\right)^3$体积的第 th 部分更靠近表面而不是原点，并且这部分越来越接近$1$作为$n$增加。扭转计算，固定比例$\alpha$， 说$\alpha=0.95$,$100\alpha\%$体积的大小位于内半径的壳中$\sqrt[n]{\alpha}r$和外半径$r$所以$1-\sqrt[n]{\alpha}$, 壳的相对厚度, 向着减小$0$随着增加$n$对于任何选择$\alpha \in (0,1)$.