是的，您绝对可以拥有随机变量的函数。是的，在您上面介绍的情况下

$$E[f(x)]=4$$ 然而，这仅仅是因为期望作为线性算子起作用。如果该功能更复杂，您将无法轻松应用您所做的事情。为了论证起见，考虑随机变量和随机变量的函数。如果，那么我们不能得出 的结论，因为上面的逻辑将遵循。相反，我们需要计算新随机变量的新分布（是的，随机变量的函数本身就是随机变量）。现在计算我们的新随机变量的分布并不总是微不足道的，而且有不止一种方法可以做。直接的蛮力方法如下：$X$$f(X)=X^2$$E[X]=2$ $$E[f(x)]=E[X^2]=E[X]^2$$ $f(X)$

$$F(f(X))=\text{Pr}(f(X)\leq x)=\text{Pr}(X\leq f^{-1}(x))$$ 并以这种方式继续，然而，这假设我们有一个可逆的函数。的支持上的严格单调函数时，一种方便的方法是：让$f$$X$$Y=f(x)$

$$p_{Y}(y)=p_X(f^{-1}(y))\bigg|\frac{df^{-1}(y)}{dy}\bigg|$$

如果你想了解更多关于这个我会说随机变量的谷歌函数，随机变量的转换或看这里：http ://en.wikipedia.org/wiki/Random_variable

此外，任何关于概率论的介绍性教科书都会非常详细地涵盖所有这些内容。

BabakP 的回答很好。阅读它，但我想补充几点。

随机变量（或多个变量）的变换分布的计算通常称为统计容差。一个问题是，对于大多数这样的转换，没有简单的分布有效。因此假设 X 是一个高斯随机变量，那么 F(X)，其中 F 是一个线性函数，也具有一个高斯分布，但具有一个调整后的均值和方差，基于变换 L，以及 X 的均值和方差。

然而，当 F(X) 完全非线性时，事情几乎总是会变得很糟糕。好的，如果 F 是指数函数，那么正态 X 的 F(X) 具有对数正态分布。但是大多数非线性函数不会给你一些众所周知的分布。所以，你可以做什么？

一种简单的解决方案是计算变换的均值和方差。给定一个均值和方差，人们可能会选择假设具有该均值和方差的正态分布。甚至可以做更多的事情，计算 F(X) 的前四个矩。有几个分布族（Pearson & Johnson 族）可以让您找到与您刚刚找到的时刻相匹配的分布。

所以，问题是，如何计算这些时刻？简单的答案是，如果您知道 F 的导数，那么通过围绕 X 的平均值的截断（一阶）泰勒级数来逼近 F 可以让您找到这些时刻的近似值。本质上，如果 F 在 X 的支持下很好地近似为线性函数，那么这些矩将是很好的估计。（对于高斯分布，支持可能被认为是 +/-6 sigma 之类的东西。）

其他人使用二阶泰勒级数近似。在这里，我们也可以计算变换的近似矩。

最后，我可能会提到田口方法，以及修改后的田口方法。它们也可以让你找到矩的近似值。修改后的田口方法的一个好处是它们基于高斯积分，并且允许您非常轻松地使用高阶近似值，而无需计算变换 F 的导数。

修改后的 Taguchi 方法的另一个不错的特点是它们很容易让您制定一种适用于均匀随机变量 X 或 gamma 随机变量等的方法。事实上，有一些方案可以让您解决广泛的矩各种随机变量。