如果有分布，则作为估计方程的积分获得。为简单起见，让我们假设比例参数是已知的，并且修整参数（如果有的话）是固定的。

1. 对于样本均值，估计方程为想象这是对数似然的导数，大量滥用符号和失去严谨性，我们有其中参数（积分常数）必须为负，以确保它积分到有意义的值。 $${\rm E}(x-\mu)=0.$$ $$\frac{{\rm d}\ln l(\mu;x)}{{\rm d}\mu} = x-\mu, \quad \ln l(\mu;x) = a (x-\mu)^2, \quad l(\mu;x) \propto \exp[ a(x-\mu)^2],$$ $a$
2. 对于样本中位数，估计方程为将此积分得到我们必须再次选择为负数才有意义。 $${\rm E \, sign}(x-\mu)=0.$$ $$l(\mu;x) \propto \exp[ a|x-\mu| ],$$ $a$
3. 对于修剪后的平均值，估计方程为让我们看看它集成到了什么：看起来像中心的审查正常，但看看尾巴：如果 ，它们是不合适的。因此，要获得正确的分布，我们必须设置。但是我们有一个逻辑上的不一致：这个分布必须给修剪尾巴中的一些实际数据一个零 pdf。这是自相矛盾的，并且显示了修剪的一些不良副作用。 $${\rm E}\rho(x,\mu,c) = 0, \quad \rho(x,\mu,c) = \left\{ \begin{array}{ll} x-\mu, & |x-\mu|\le c, \\ 0, & |x-\mu|>c. \end{array} \right.$$ $$l(\mu;x, c) = \left\{ \begin{array}{ll} \exp[ a(x-\mu)^2], & |x-\mu|\le c, \\ b, & |x-\mu|>c. \end{array} \right.$$ $b>0$$b=0$

有时，建立一种方法的“似然性”以显示其渐近正态性和对窄类分布的效率是有益的。通常，修剪均值的渐近正态性可以从估计理论得出。$M$

除了中位数等特殊情况外，我认为修剪后的均值通常不是 ML；如果他们是，他们已经是某种形式的 M 估计器。但是，如果您采用中间正态分布，例如指数尾部 - 对应于 Huber M 估计量的分布 - 那么对于特定水平的修剪，修剪后的平均值将有望高效。