II型删失下指数分布参数的最大似然估计可以如下推导。我假设样本量是$m$，其中$n < m$最小的被观察到并且$m - n$最大的未被观察到（但已知存在。）

让我们假设（为了符号简单）观察到的$x_i$被订购：$0 \leq x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n$. 那么联合概率密度$x_1, \dots, x_n$是：

$f(x_1, \dots, x_n) = {m!\lambda^n \over {(m-n)!}}\exp\left\{-\lambda\sum_{i=1}^nx_i\right\}\exp\left\{-\lambda(m-n)x_n\right\}$

其中第一个指数与概率有关$n$观察到的$x_i$第二个是概率$m-n$未观察到$x_i$大于$x_n$（这只是 1 - CDF 在$x_n$.) 重新排列术语会导致：

$f(x_1, \dots, x_n) = {m!\lambda^n \over {(m-n)!}}\exp\left\{-\lambda\left[\sum_{i=1}^{n-1}x_i+(m-n+1)x_n\right]\right\}$

（注意总和运行到$n-1$因为有一个“$+1$"在系数中$x_n$.) 取对数，然后是 wrt 的导数$\lambda$依此类推导致最大似然估计：

$\hat{\lambda} = n / \left[\sum_{i=1}^{n-1}x_i+(m-n+1)x_n\right]$

这将@jbowman 的回答链接到我的评论。也就是说，在常见的工作假设下，可以使用 II 型审查下的“标准生存可能性”。

> #------seed------
> set.seed(1907)
> #----------------
> 
> #------some data------
> t <- sort(rexp(n=20, rate=2))        #true sample
> t[16:20] <- t[15]                    #observed sample
> delta <- c(rep(1, 15), rep(0, 5))    #censoring indicator
> data <- data.frame(t, delta)         #observed data
> #---------------------
> 
> #-----using @jbowman's formula------
> 15 / (sum(t[1:14]) + (5 + 1)*t[15])
[1] 2.131323
> #-----------------------------------
> 
> #------using the usual survival likelihood------
> library(survival)
> fit <- survreg(Surv(t, delta)~1, dist="exponential", data=data)
> exp(-fit$coef)
(Intercept) 
   2.131323 
> #-----------------------------------------------

PS1：请注意，这不仅限于指数分布。

PS2：详情可以在Lawless 的书的2.2 节中找到。

假设$n$已知，估计可以通过

$\Phi(x_k)=1-e^{-\lambda x_k} \approx (k/n)$ 在哪里$x_k$,$0<k<m$, 指的是$k$'缩减数据集中的最小值。

逻辑是：如果你有整套$n$样本，您可以构建经验 CDF，$\Phi$，来自这个样本。那么如果你拿了物品$k$这个排序的数组，它将对应于 CDF 值$k/n$. 在很多情况下，$k=n/2$是一个有用的选择。