我将专注于 ARMAX 与 VAR。我不太确定什么是动态回归。（我见过一些不同的解释。有趣的是，有些教科书和讲义的章节称为“动态回归”并没有真正界定这类模型。此外，Rob J. Hyndman 在他的博客文章“ARIMAX 模型混乱”中指出“不同的书籍使用该术语来表示不同的模型）。

ARMAX模型具有以下形式

$$y_t = \beta x_t + \varphi_1 y_{t-1} + \dotsc + \varphi_p y_{t-p} + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \dotsc + \theta_q \varepsilon_{t-q}$$

（在上述方程中，也可能有多个外生变量和/或外生变量滞后。）

1. 因变量是单变量时间序列。
2. 该模型不能用于预测，除非有自变量的未来值可用，或者有一个单独的模型来预测。$y_{t+h}$$x_{t+h}$$x_{t+h}$
3. 该模型使用最大似然（慢）估计，通常使用状态空间表示。
4. 允许 AR 和 MA 术语提供了该过程的简洁表示。

VAR模型具有以下形式

$$z_t = \varphi_1 z_{t-1} + \dotsc + \varphi_p z_{t-p} + \varepsilon_t$$

其中是一个向量；例如，。$z$$z=(y,x)'$

1. 因变量是一个多元时间序列。
2. 该模型可用于预测所有组件$z_{t+h}$，例如对于$z=(y,x)'$. 给定数据，包括时间$t$, 时间预测$t+1$容易获得；预测$t+h$在哪里$h>1$可以迭代获得。
3. 可以使用 OLS 或 GLS（快速）估计模型。
4. 缺少 MA 项可能（或可能不需要）需要大的 AR 阶来很好地逼近过程，而大的 AR 阶意味着要估计大量参数，因此估计方差很大。幸运的是，正则化（收缩）非常直接地应用于 VAR 模型（与 ARMAX 不同），因此可以驯服方差。

[H]我们如何决定何时使用 which[?]

这取决于您的意图和手头的数据。

• 如果您需要快速估计和直接适用于预测，请尝试 VAR。
• 如果您需要简洁的表示，请尝试 ARMAX。

此外，ARMAX 和 VAR 可以结合起来获得具有多元因变量的VARIMAX模型，它确实允许预测其所有分量，但估计需要很长时间，容易出现收敛问题并且难以正则化。

ARMAX 模型比 VAR 和 Dynamic Regressive 更通用。您可以在此处查看 ARMAX 的运行情况https://twitter.com/tomdireill/status/717694028104474625，其中分析了 Box-Jenkins 文本中的 GASX/GASY 示例/