这个数字是一个完整的答案。

不过，对于那些想要在图上加以光泽的人来说，请注意，在这个包含 1,000 个$(X,\varepsilon),$

• “。” 当和以零为中心时，就像它们在这里一样，协方差是它们的平均乘积。该图使用颜色来表示单个产品：绿色和蓝色表示非常负值，橙色表示略微正值。总的来说，许多橙色抵消了少数绿色和蓝色，从而产生零协方差。$\operatorname{Cov}(X,\varepsilon)=0$$X$$\varepsilon$

• “。” 平均而言，的值为零。从对称性中可以看出这一点：将图旋转 180 度保留了它的特征（下降到相当精细的细节），但否定了 因此平均值必须接近于零（唯一的有限数等于它自己的负数）。$E[\varepsilon]=0$$\varepsilon$$\varepsilon.$

条件期望 由粗黑色曲线描绘：在的每个值处，它估计位于该值之上的点的平均高度。显然这并不总是零。（在这个例子中，重要的是曲线并非始终为零：它的形状细节无关紧要。）$E[\varepsilon\mid X]$$X$

即使当和的协方差为零且的期望值为零的值局部波动，前提是它们在全局（整体上）平均为零。$X$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$X,$

附录

下面是R生成该图的代码。（长）第三行是它的核心：对于曲线函数它添加了均匀分布的误差，然后 - 确保结果响应与 - 消除对这些值的影响（使用调用序列）。$y = \sin(\pi x/\sqrt{3})$runif(n, -1/2, 1/2)$x$$x$scale(residuals(lm(...)))

（如果你对这个预处理感到不舒服，那么在去掉的影响后添加错误：$x:$

eps <- runif(n, -1/2, 1/2) + residuals(lm(sin(pi*x/sqrt(3)) ~ x))

结果，因为误差真正独立于不会完全为零相关，而只是因为模拟中的机会变化。这提供了更好的模拟，但不能保证良好的情节！）$x,$

#
# Create data.
#
n <- 1e3                     # Specify the size of the dataset
x <- scale(runif(n))         # Create explanatory variable values
eps <- scale(residuals(lm(runif(n, -1/2, 1/2) + sin(pi*x/sqrt(3)) ~ x)))
zapsmall(cor(cbind(x, eps))) # Confirm lack of correlation
#
# Create a data frame for plotting and plot it.
#
X <- data.frame(x=x, eps=eps, Product=x*eps)
library(ggplot2)
ggplot(X, aes(x, eps)) +
  geom_hline(yintercept=0) + geom_vline(xintercept=0) +        # Draw axes
  geom_point(aes(fill=Product), size=2, shape=21, alpha=1/4) + # Plot the points
  geom_smooth(color="Black", se=FALSE, size=1.1) +             # Plot the regression
  scale_fill_gradientn(colors=topo.colors(13)[1:12]) +         # Specify colors
  ylab(expression(epsilon))                                    # Label an axis

令。现在检查相关时刻。$x = \epsilon = 0$

让$x$和$\epsilon$是两个随机变量。如果

$$Cov(x,\epsilon)=0$$ 和 $$E[\epsilon]=0,$$ 这会导致 $E[\epsilon|x]=0?$

不，这些条件还不够。

确实有可能两者都成立，但$Cov(x^2,\epsilon)\neq0$， 所以$E[\epsilon|x]\neq 0$

但是，如果这种更强烈的条件成立$Cov(f(x),\epsilon)=0$随便$f()$， 然后 $E[\epsilon|x] = 0$抓住

注意：有时$E[\epsilon|x] = 0$假定但仅$E[x \epsilon] = 0$检查/考虑。如果我们假设（通常是隐含地）只允许线性关系，那么这个 prassi 就可以工作。

以下是错误的。这是一个反例：

这是我的想法。有专家可以帮我检查一下吗？谢谢。

$Cov(x, \epsilon)=0\space\implies E[x\epsilon]-E[x]E[\epsilon]=0 \space \stackrel{E[\epsilon]=0}\implies E[x\epsilon]=0$

所以我们可以说$x$和$\epsilon$是正交的。从几何的角度来看，$E[\epsilon|x]$是的投影$\epsilon$到 x 的平面上。自从$\epsilon$与该平面正交，因此投影为零。那是$E[\epsilon|x]=0$