机器算法验证 - 具有奇异协方差矩阵的多元分布可以具有密度函数吗？ - 吾爱随笔录

具有奇异协方差矩阵的多元分布可以具有密度函数吗？

机器算法验证分布数理统计协方差

2022-03-13 20:24:40

上的多元分布具有奇异协方差矩阵。我们可以得出结论它没有密度函数吗？ $\mathbb R^n$

例如，多元正态分布就是这种情况，但我不确定所有其他多元分布是否都是如此。

上的勒贝格测度是否存在 Radon-Nikodym 导数的问题，但基本概率论也可能有答案。 $\mathbb R^n$

3个回答

奇异协方差矩阵意味着存在随机变量使得和。因此，所有概率质量都位于定义的超平面中，因此随机变量不能具有变量密度函数。 $Y = \sum_{i=1}^n a_i X_i$ $n$ $E[Y] = a_0$ $\operatorname{var}(Y) = 0$ $\mathbb R^n$ $\sum_{i=1}^n a_i x_i = a_0$ $n$ $n$

是的，但它将是低维子空间上的概率分布。如果您允许诸如狄拉克三角函数之类的东西，您可能会争辩说它是 R^N 中的概率分布。这是一个微妙的数学问题，但物理学家，例如，一直在做。

尽管上面提到了这一点，但我想更清楚一点，虽然它在上可能没有有意义的密度，但您可以在 Rank( ) 维子空间上定义密度，其中表示协方差矩阵。 $\mathbb{R}^{n}$ $\Sigma$ $\Sigma$

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