我不知道你的主要问题的明确答案。虽然我找到了以下两个参考：

Anderson, CW，“一类离散分布的极值理论，适用于某些随机过程”，应用概率杂志，第 7 卷，1970 年，第 99-113 页。

Anderson, CW，“离散随机变量最大值的局部极限定理”，剑桥哲学学会数学学报，第 88 卷，1980 年，第 161-165 页。

对于您的第二个问题，泊松的 CDF 是$\frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor,\lambda)}{\lfloor k\rfloor!}$所以$P(\max\limits_N X_n \leq M) = (\frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor,\lambda)}{\lfloor k\rfloor!})^N$. 应用差分算子（lag1），你得到最大的 PMF。

对于最近的访问者，Hitz、Davis 和 Samorodnitsky (arXiv:1707.05033) 在该领域有新的发展。采用峰值超过阈值的方法而不是块最大值，离散广义帕累托分布导出为$\operatorname{floor}$GPD 和离散最大吸引力域 (DMDA) 是通过将它们与经典 MDA 相关联来引入的。整件事与齐夫定律有关，但又不同。

就论文的术语而言，泊松分布在 Gumbel 分布的 DMDA 中$(\xi = 0)$，负二项分布和几何分布也是如此。

泊松不属于任何 EV 分布的 MDA（不可能找到提供非退化限制的移位和缩放序列）。Leadbetter、Lindgren 和 Rootzen (1983) 中的一个定理的结果。