机器算法验证 - 从二元正态获得边际分布 - 吾爱随笔录

从二元正态获得边际分布

机器算法验证正态分布边际分布双变量

2022-04-11 02:10:21

令具有均值、方差和相关性的正态分布。我想知道相应的边际密度。 $(X, Y)$ $(\mu_X, \mu_Y)$ $(\sigma_X^2, \sigma_Y^2)$ $\rho$

到目前为止，我发现的只是众所周知的和的密度表达式，但不仅仅是 ? 不应该出现在表达式中吗？如何计算任何和的边际？我认为使用这个定义最终会得到一个无法解析解决的积分…… $X\sim N(\mu_X, \sigma_X^2)$ $Y\sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2)$ $X \perp Y$ $\rho$ $X$ $Y$

1个回答

跟进 whuber 的评论，等我将把它留给 OP 来完成细节并确定在评估积分时

\begin{aligned} \frac{1}{2 (1 - ρ^{2})} (x^{2} + y^{2} - 2 ρ x y) & = \frac{1}{2 (1 - ρ^{2})} (x^{2} - ρ^{2} x^{2} + (y^{2} - 2 ρ x y + ρ^{2} x^{2})) \\ = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} {(\frac{y - ρ x}{\sqrt{1 - ρ^{2}}})}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \left.\left.\frac{1}{2(1-\rho^2)}\right(x^2+y^2-2\rho xy\right) &=\left.\left.\frac{1}{2(1-\rho^2)}\right(x^2-\rho^2x^2+(y^2-2\rho xy + \rho^2x^2)\right)\\ &= \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\left(\frac{y-\rho x}{\sqrt{1-\rho^2}}\right)^2 \end{align}$

\int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d y = \frac{e^{- x^{2} / 2}}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{- (y - ρ x)^{2} / 2 (1 - ρ^{2})}}{\sqrt{1 - ρ^{2}} \sqrt{2 π}} d y .

$\int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm dy = \frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-(y-\rho x)^2/2(1-\rho^2)}}{\sqrt{1-\rho^2}\sqrt{2\pi}}\,\mathrm dy.$

ρ

$\rho$

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