机器算法验证 - 如何从具有多变量依赖的联合分布中找到边际分布？ - 吾爱随笔录

如何从具有多变量依赖的联合分布中找到边际分布？

机器算法验证自习随机变量边际分布联合分配

2022-02-15 13:21:55

我的教科书中的问题之一如下。二维随机连续向量具有以下密度函数：

f_{X, Y} (x, y) = {\begin{cases} 15 x y^{2} & if 0 < x < 1 and 0 < y < x \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 15xy^2 & \text{if 0 < x < 1 and 0 < y < x}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

证明边际密度函数和是： $f_X$ $f_Y$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 5 x^{4} & if 0 < x < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X}(x)= \begin{cases} 5x^4 & \text{if 0 < x < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

f_{Y} (y) = {\begin{cases} \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) & if 0 < y < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{Y}(y)= \begin{cases} \scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2(1-y^2) & \text{if 0 < y < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

我了解密度函数是如何计算的，方法是将从积分到相对于。但是，我完全迷失了，来自哪里？如果我对积分到，那么我只会得到，为什么范围？ $f_X$ $f_{X,Y}$ $0$ $x$ $y$ $f_Y$ $(1-y^2)$ $0$ $1$ $x$ $\scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2$ $0 < y < 1$

我已经绘制了对的支持，其中的所有值都是蓝色的： $X,Y$ $f_{X,Y}>0$

对 $X,Y$ 的支持

2个回答

正如您在问题中正确指出的那样，是通过积分联合密度相对于 X 来计算的。这里的关键部分是确定您所在的区域整合。您已经清楚地以图形方式显示了联合分布函数的支持。因此，现在，您可以注意到阴影区域中的范围是从到（即，您可以可视化水平线，平行于 x 轴，从对角线到处的垂直线）。 $f_{Y}(y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $X$ $X=y$ $X=1$ $Y=X$ $X=1$

因此，积分的下限和上限将是和。因此，问题的解决方案如下： $X=y$ $X=1$

f_{Y} (y) = \int_{y}^{1} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x = 15 y^{2} \int_{y}^{1} x d x = 15 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} |_{y}^{1}) = \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) .

$f_{Y}(y)= \int_{y}^{1} f_{X,Y}(x,y) dx= \int_{y}^{1} 15xy^{2} dx=15y^{2}\int_{y}^{1} x dx=15y^{2}\left(\frac{1}{2}x^2\Big|_y^1\right)\\=\frac{15}{2}y^2(1-y^2).$

整合的原因 $f_{XY}(x,y)\,dx$ 从范围 $y$ 到 $1$ 是它给了你 $(1-y^2)$ 学期。边际分布是当对于任何固定值 $y$ 我们对所有可能的值求和 $x.$ 所以在这里如果我们修复 $y,$ 比如说，在那么必须对值进行积分。但是对于这种情况，它还必须满足对随机变量才应该大于（请参阅您对联合 pdf 的定义）。现在在这里我取作为固定我得到的任意值，那么我们将从极限积分到 $0.6,$ $f_{XY}(x,y)\,dx$ $x$ $(-\infty, +\infty).$ $X.$ $X$ $Y$ $0.6$ $Y.$

f_{Y} (0.6) = \int_{0.6}^{1} f_{X Y} (x, y) d x .

$f_Y(0.6) = \int_{0.6}^1 f_{XY}(x,y)\,dx.$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

1.

$1.$

我希望这有助于干杯

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