机器算法验证 - 除了 beta 分布，[0,1] 上的哪些分布与二项分布形成了很好的化合物？ - 吾爱随笔录

机器算法验证 β-二项分布

2022-03-20 02:16:29

对于哪些分布 x，除了 beta，x 二项分布是好的？Beta 和二项式分布是著名的共轭分布，但我很好奇其他非共轭分布是否会给出相对简单的复合 pmfs。不错，我的意思是 pmf 在不借助数值积分的情况下可以很好地计算；我不是指从复合分布中抽样的容易程度。

1个回答

如果你只是想能够写出概率质量函数，你有很大的灵活性，主要是因为你可以重复使用分部积分。只要你能整合分布 $X$ 反复获得封闭形式的表达式，最坏的情况是复合分布的 pmf 的封闭形式表达式的双倍总和。我认为你经常得到单一的总和，所以也许有一种更简单的方式来表达这些。

例如，让 $\text{pdf}_X(x) = -\log x$ 上 $[0,1]$ .

\int_{0}^{1} (\binom{N}{k}) x^{k} (1 - x)^{N - k} (- \log x) d x = \frac{1}{N + 1} \sum_{i = k}^{N} \frac{1}{i + 1} .

$\int_0^1 {N\choose k}x^k (1-x)^{N-k} (-\log x) ~dx \\\ = \frac{1}{N+1}\sum_{i=k}^{N} \frac1{i+1}.$

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