$P(u*|x*,u) ~ N(u(x*)$ , )，直接来自的定义。$\sigma^2$$u*$

请注意，两个高斯 pdf 的积分是归一化的。可以看出

$$\int_{-\infty}^{\infty}P(u^*|x^*, u)du^* =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{u}P(u^*|x^*, u)P(u|s)dudu^* =\int_{u}P(u|s)\int_{-\infty}^{\infty}P(u^*|x^*, u)du^*du =\int_{u}P(u|s)\int_{-\infty}^{\infty}N(u^*-u(x*); 0, \sigma^2)du^*du =\int_{u}P(u|s)du\int_{-\infty}^{\infty}N(u^*; 0, \sigma^2)du^* =1$$

随着规范化的进行，

$\int_{u}P(u^*|x^*, u)P(u|s)du$通过以下提示进行积分：

1. 将 2 正态 pdf 代入方程并消除与无关的项，因为我们已经展示了归一化。$u$

2. 使用完成平方技巧来积分多元指数，即用剩余的指数项构造一个多元正态pdf。请参阅此 YouTube 视频。

3. 最终，你会留下一个指数，就而言，可以观察到这又是一个远离正常 pdf 的因素。同样，规范化的证明让我们相信最终形式确实是一个正常的 pdf。pdf与原始帖子中给出的pdf相同。$u^*$

高斯过程条件分布方程的详细推导可以在本书 [Rasmussen2005] 的第 2 章和附录A中找到。

看看 (Eq. 2.23, 2.24) 及以上，它们基于高斯恒等式 (A.6) 和矩阵属性 (A.11)。

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[Rasmussen2005] CE Rasmussen 和 C. Williams。机器学习的高斯过程。麻省理工学院出版社，2005 年。