不，除非它们完全相等，否则一般不能说它们大致相等。要看到这一点，请考虑：

$$\mathbb{E}[X|Y] - \mathbb{E}[X] = \delta$$

对于任何$\delta$这接近您认为“大约相等”的边界。现在，乘$X$经过$10^9$：

$$\mathbb{E}[10^9X|Y] - \mathbb{E}[10^9X] = 10^9\mathbb{E}[X|Y] - 10^9\mathbb{E}[X] = 10^9\delta$$

现在$\delta$不再在“近似相等”值的范围内。

您应该能够看到这也可以防止扩展$E[X|Y]$不向您提供这方面的任何有用信息；基本上，以一种或另一种方式，您可能需要实际计算有条件和无条件的期望并比较它们以确定差异在您的应用程序中是否可以忽略，或者可能计算差异的界限并将其用作决策工具。

有趣的是，这几乎是正确的一种情况是$X$和$Y$都是来自相同高维分布的投影，即$X=a^TZ$,$Y=b^TZ$对于高维$Z$. Hall & Li（以及不同人的早期工作）表明，对于“大多数”分布$Z$在一个高维球体上和大多数$a,b$,$E[X|Y]$在 Y 中近似线性，因此如果它们不相关，则它们接近于独立。

结果是有道理的，因为$X$和$Y$将近似于 CLT 的二元高斯分布，但实际上确定误差范围需要工作。

这个问题的动机是 Duan 和 Li 的切片逆回归方法，你在哪里回归$X$上$Y$学习关于$Y|X$

现在，不相关并不意味着独立，所以$E[X \mid Y] \ne E[X]$.

我发现结论'所以$E[X \mid Y] \ne E[X]$' 这句话有点混乱。

1. 如果变量不相关，则不遵循$E[X \mid Y] \ne E[X]$.
2. 此外，独立并不意味着$E[X \mid Y] \ne E[X]$. 你可以独立，同时$E[X \mid Y] = E[X]$

---

如果你的相关性为零，那么你仍然可以有依赖，而且同时$E[X \vert Y] = E[X]$

示例：让$X \sim N(0,1)$和$Y = N(0,\sigma^2 = X^2)$

---

如果您的相关性为零，那么

• 那么这意味着对于适合的线，您的斜率为零$E[Y|X]$作为函数$X$或者$E[X|Y]$作为函数$Y$.

• 但$E[Y|X]$可以有各种各样的偏离直线。

例子：让$X \sim N(0,1)$和$Z = N(X^2,1)$

---

但是，可以说它们大致相等吗？

在许多情况下，您的相关性为零，但由于第一个示例中的异质性，您仍然存在依赖性。可以有依赖，但仍然$E[Y|X] = E[Y]$.

但这很难给出一般条件。条件为$E[Y|X] = E[Y]$就是它$E[Y|X] = E[Y]$.