我偶然发现了一个相当简单的 OLS 回归结果，它是

$$Var[\hat\beta] = \sigma^2(X^TX)^{-1}$$ 在哪里$\sigma$是误差项的方差$u$和$X$是回归矩阵。

我最初只是接受了教科书中的证明，但现在我认为它要么使用了草率的符号，要么我遗漏了一些东西。$\hat\beta$是估计和$\beta$是真正的参数（假设无偏）。

它指出

$$\begin{align} Var[\hat\beta] &= E[(\hat\beta - \beta)(\hat\beta-\beta)^T] \\ &= E[(X^TX)^{-1}X^Tuu^TX(X^TX)^{-1}] \\ &= (X^TX)^{-1}X^T E[uu^T] X(X^TX)^{-1} \end{align}$$

但$X$只是假设是外生的而不是非随机的。在这个假设下，我认为$X$不能被拖到期望运算符之外。

暂时觉得应该$Var[\hat\beta|X]$有意义。是这样吗？我的网络研究无法澄清这一点。我只发现了与上述类似的推导，没有进一步解释。