机器算法验证 - 在以某种效率测量的泊松过程中，测量的计数仍然是泊松吗？ - 吾爱随笔录

情况：

假设我有一个泊松过程，例如放射性衰变，每秒产生R个粒子。我用探测器测量。检测器检测到粒子的概率为P。

我想我知道的事情：

粒子发射的到达间隔时间以基于R的参数呈指数分布。
检测前发射的粒子数由基于P的负二项式给出。
如果从 (2) 中采样了一个数N，则检测到的粒子的到达间隔时间的单个样本可以由 (1)中的N个样本的总和给出。该总和可以通过从具有基于N和R的参数的伽马分布中采样来获得。

我的问题：

如果可以通过基于N和R从伽马采样来计算单个到达间隔时间，那么在一个间隔中的检测器计数如何再次成为泊松？（要成为泊松，探测器的到达间隔时间必须是指数的，而不是根据一些奇怪的伽玛值分布。）当然N是波动的，但我看不出这是怎么回事。

但是，我几乎完全确定检测器计数实际上是泊松分布的。有人可以给我看看数学吗？谢谢您的帮助！

编辑：

我找到了这篇论文：Fried，DL“光发射电流中的噪声”。应用光学 4.1（1965）：79-80。

这表明二项式选择的泊松随机变量也是泊松的结果，其比率由 PR 给出。这证实了 jbowman 的评论。尽管如此，我还是有兴趣了解我使用负二项式和伽马分布在探测器处生成到达间隔时间的过程是如何不正确的。这是我的主要心理问题。谢谢你。

编辑2：

我编写了这个 matlab 脚本来测试我对伽玛分布的尝试是否有效。结果表明，几何分布的 N 生成的伽马到达间隔时间是指数的，并且与 Poisson(PR) 建议的到达间隔时间一致。（ia2 和 ia3 同分布）。知道这是如何分析的吗？这对我来说并不直观！

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n = 100000;
ia1 = exprnd(1,n,1); % create exponentially distributed inter-arrival times
t1 = cumsum(ia1); % running sum (the real experiment time)

mask = (rand(n,1) > 0.5); % flip a coin
t2 = t1(mask); % get only the events for which "the coin landed on heads"
ia2 = diff(t2); % calculate the inter-arrival times at the detector.

% plot the distributions
figure; hist(ia1,100); title('exponential inter-arrival times');
figure; hist(ia2,100); title('binomial sampled inter-arrival times');

%%
spacing = geornd(0.5,n,1) + 1; % how many events before we get heads
ia3 = gamrnd(spacing,ones(n,1)); % generate the interarrival times with gamma
figure; hist(ia3,100); title('geom/gamma inter-arrival times');