机器算法验证 - 子空间上的标准正态分布 - 吾爱随笔录 - 问答

子空间上的标准正态分布

机器算法验证正态分布调理

2022-03-13 12:59:28

让 $U \subset \mathbb{R}^n$ 是一个向量空间 $\dim(U)=d$ . 标准正态分布 $U$ 是随机向量定律 $X=(X_1, \ldots, X_n)$ 取值 $U$ 并且使得坐标 $X$ 在一个（ $\iff$ 在任何）标准正交基 $U$ 是一个随机向量，由 $d$ 独立标准正态分布 ${\cal N}(0, 1)$ .

在阅读这个问题时，我问自己以下问题。让 $Y=(Y_1, \ldots, Y_n)$ 是一个标准正态分布 $\mathbb{R}^n$ . 是真的，条件分布 $Y$ 给定 $Y \in U$ 是标准正态分布 $U$ ?

平方范数 ${\Vert X \Vert}^2$ 的 $X$ 具有卡方分布 $\chi^2_d$ . 因此，如果这是真的，那将解释@Argha 的说法。

抱歉，如果 LaTeX 输入错误，我看不到 LaTeX 渲染 :(

编辑 01/10/2012：好的，我明白了。写 $y=u+v$ 的正交分解 $y$ 在 $U\oplus U^\perp$ . 然后

Pr (Y \in d y \cap Y \in U) = Pr (P_{U} Y \in d u)

$\Pr(Y\in \mathrm{d}y \cap Y \in U)=\Pr(P_U Y \in \mathrm{d}u)$ . 这表明

(Y ∣ Y \in U) \sim P_{U} Y

$(Y \mid Y \in U) \sim P_U Y$ . 这有点启发式但在道德上是正确的。最后，从定义中可以清楚地看出

P_{U} Y

$P_U Y$ 是标准正常的

U

$U$ .

1个回答

是的。你有那个 $U$ 是一个子空间 $\mathbb R^n$ . 让 $Y \sim \text{N}(0,I)$ 和 $P$ 是上的正交投影矩阵 $U$ ，以便 $P$ 是对称和幂等的。然后 $PY \sim \text{N}(P0,PIP^T) = \text{N}(0,P)$ . 这是一个奇异正态分布，它在子空间上 $U$ 是该子空间的标准法线。作为奇异分布，它在体积测量方面没有密度 $\mathbb R^n$ ，但它确实具有相对于（低亮度）体积测量的密度 $U$ .

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