机器算法验证 - 的最大似然估计磷(是1= 1 )P(Y1=1)如果，则，给定是一世= 1Yi=1X一世> 0Xi>000X1, … ,Xn～N( θ , 1 )X1,…,Xn∼N(θ,1) - 吾爱随笔录

的最大似然估计磷(是1= 1 )P(Y1=1)如果，则，给定是一世= 1Yi=1X一世> 0Xi>000X1, … ,Xn～N( θ , 1 )X1,…,Xn∼N(θ,1)

机器算法验证自习最大似然

2022-03-18 15:12:36

这是 Wasserman 的All of Statistics中第 9 章练习 6 的部分（a）。

让。定义。设。的最大似然估计量。 $X_1,\dots,X_n\sim N(\theta,1)$ $Y_i=\begin{cases} 1 &\text{ if }X_i>0 \\ 0 &\text{ if }X_i\le 0.\end{cases}$ $\psi=P(Y_1=1)$ $\psi$

到目前为止我已经尝试过：

我知道，其中是的 cdf 。我想知道我们是否可以使用等方差属性，即如果和是的 MLE ，那么的 MLE是。 $P(Y_1=1)=P(X_1>0)= 1-\Phi_{\theta}(0)$ $\Phi_{\theta}$ $N(\theta,1)$ $\tau=g(\theta)$ $\widehat{\theta}$ $\theta$ $\tau$ $g(\widehat{\theta})$

1个回答

首先，表示为标准正态 cdf，我们有在第三行中，我们使用的事实。因此，通过 MLE 的等变，因为是的 MLE ，是的 MLE 。 $\Phi$

\begin{aligned} ψ & = P (Y_{1} = 1) \\ = P (X_{1} > 0) \\ = 1 - P (X_{1} \leq 0) \\ = 1 - P (X_{1} - θ \leq - θ) \\ = 1 - Φ (- θ) \\ = Φ (θ), \end{aligned}

$\begin{align*}\psi &= P(Y_1=1) \\ &= P(X_1>0) \\ &= 1-P(X_1 \le 0) \\ &= 1-P(X_1-\theta\le -\theta)\\ &=1-\Phi(-\theta)\\ &=\Phi(\theta),\end{align*}$

X_{1} - θ \sim N (0, 1)

$X_1-\theta\sim N(0,1)$

\hat{θ} = {\bar{X}}_{n}

$\widehat{\theta}=\overline{X}_n$

θ

$\theta$

Φ ({\bar{X}}_{n})

$\Phi(\overline{X}_n)$

ψ

$\psi$

感谢 StubbornAtom 提供此解决方案的提示。

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