机器算法验证 - Eggenberger-Pólya (1923) 的论文是否推导出了具有实值参数的负二项分布？ - 吾爱随笔录

负二项分布可以通过多种方式推导出来，但有两个著名的方法来自 Greenwood & Yule (1920) 和 Eggenberger & Pólya (1923)。Greenwood & Yule 假设个体之间存在未观察到的异质性，并且基本上将其推导出为伽马混合泊松。众所周知，Eggenberger & Pólya 使用骨灰盒系统来模拟阳性传染——即在“事件”之后，事件发生的概率在未来的试验中会增加。

使用Wikipedia中的主要 ( , ) 参数化，pmf 可以写成当是整数时，这有时称为帕斯卡分布，它可以很好地解释为伯努利（）试验的次数，直到出现次失败。 $r$ $p$

P (Y = k) = (\binom{k + r - 1}{k}) (1 - p)^{r} p^{k}

$P(Y = k) = {k+r-1\choose k}(1-p)^r p^k$

r

$r$

p

$p$

r

$r$

但它可以使用 Gamma 函数 $r$

P (Y = k) = \frac{Γ (k + r)}{k! Γ (r)} (1 - p)^{r} p^{k}

$P(Y = k) = \frac{\Gamma(k+r)}{k!\Gamma(r)} (1-p)^r p^k$

当是实数时，这显然有时被称为 Pólya 分布......我的问题是为什么？这是从 Eggenberger-Pólya (1923) 论文中得出的吗？ $r$

我读过的所有内容似乎都暗示它是，除了 Johnson, Kotz & Kemp's (1993) Univariate Discrete Distributions，它只说它是作为 Eggenberger-Pólya 瓮模型的限制形式出现的。一个骨灰盒模型向我建议他们只使用整数值，但不幸的是，这篇论文是德文的，我不知道他们是否继续超越这一点来推导出实值版本——我无法识别任何显然是上面的第二个公式（尽管选择了参数化）。

我可能无法公开发表论文本身；这些是详细信息：

Eggenberger, F. 和 G. Pólya (1923)。“Über die Statistik verketteter Vorgänge。” ZAMM - 应用数学和力学杂志 / Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik 3 (4): 279-289。

DOI: 10.1002/zamm.19230030407

如果有人能读懂德语，或者对负二项式的历史有更多了解，如果你能为我提供一些启示，我会很高兴。

干杯!