考虑一个序列$n$具有成功概率的独立试验$p$. 让$X$是成功的次数$n$试验。然后$X$具有带参数的二项分布$n$和$p$. 二项式 rv 的期望值为$E(X) = np$. 一种简单的方法是将其设置为$120$并解决$n$. 自从$p=0.01$， 我们有$n(0.01) = 120$意思就是$n=12,000$预计试验将获得$120$成功。

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或者，这是一种相关的方法，它给出了观察所需的试验次数$r=120$有一定概率的成功$\gamma$（IE$\gamma=0.95$）。

考虑一系列具有成功概率的独立试验$p$. 让$X$是观察所需的试验次数$r$成功。然后$X$具有带参数的负二项分布$r$和$p$. 在你的情况下，$X \sim \text{Negative-Binomial}(120, 0.01)$, 你想找到$x$这样

$$P(X \leq x) = \gamma.$$

虽然负二项分布没有封闭形式的分位数函数，但这个$x$可以轻松解决。例如，可以通过在 R 中键入以下内容来获得答案：qnbinom(.95, 120, .01)。答案$x=13728$表示$13,728$试验需要有 95% 的机会观察到$120$（或更多）成功。

首先，我将假设实验是独立的，因为你说成功的可能性总是 1%。您问题中的关键字是“预期”，这意味着我们将寻找平均值或预期值。

如果您对试验次数感兴趣$X$（具有常见的成功概率$p$)，需要获得$r$成功，那么您可以将其建模为具有概率质量函数的负二项式随机变量：

$$\begin{eqnarray*} f_{X}(x|r,p) & = & {x-1 \choose r-1}p^{r}(1-p)^{x-r} \end{eqnarray*}$$

对于$x=r,r+1,...,$

负二项式的期望值众所周知为：

$$\begin{eqnarray*} E(X) & = & \frac{r}{p} \end{eqnarray*}$$

在您的情况下，和。次成功所需的实验独立试验的预期数量（次）简单地由$p=0.01$$r=120$$120$$120/0.01=12,000$

正如其他人所指出的那样，成功次数足够多的机会将遵循负二项分布。绘制它很有用，您可以在 R 中使用以下命令执行此操作：

plot(function(x) pnbinom(x,120,0.01),120,20000)

这使：

正如您所看到的，它具有 S 形形状，并且有很大的区域几乎没有机会并且几乎可以确定，并且两者之间的快速转换接近预期值。因此，增加试验次数可能对实现目标的机会影响很小或影响很大，具体取决于您已经决定的次数。

如果你按轨迹数（即每次试验的平均机会）缩放这个函数，你可以看到有一个明显的最大值，

plot(function(x) pnbinom(x,120,0.01)/x,120,20000)

您可以通过以下方式识别：

optimise(function(x) pnbinom(x,120,0.01)/x,c(120,20000),maximum=TRUE)
$maximum
[1] 13888

$objective
[1] 6.929301e-05

正如 knrumsey 所说，成功的数量将遵循二项分布，但除非您需要较高的精度，否则 1% 是一个足够小的数字，您可以使用 \lambda=120\frac{1 的泊松的$\lambda=120\frac{1\%}{99\%}=1.2121$