Wikipedia 文章及其参考文献（Fink D.，1997）的问题在于缺少一些关键信息。

具体来说，给定的后验是$M-x$（即人口中目标个体的数量因样本中观察到的数量而变化），而不是$M$. 此外，缺少对应于观察次数的后验参数，应该是$N-n$（即人口规模减去样本规模）。这两个更正修复了您正确注意到的支持问题，如下所示。

假设$0 \leq X \leq n$是 大小样本中目标个体的数量$n$从人口规模$N$和 $0 \leq M \leq N$目标个体总数。

然后，$X \sim \text{HG}(n, M, N)$在支持下$[\max(0, n-N+M), \min(n, M)]$.

如果$M \sim \text{BB}(N, \alpha, \beta)$是 M 的先验分布，的后验分布也是 Beta-Binomial-distributed： $M$$M - x$

$$M - x\,|\,x,\alpha,\beta \sim \text{BB}(N-n, \alpha + x, \beta + n - x)$$

如果您为编写概率质量函数，您会在上面找到@Tim 的答案。$M$

作为说明，对于和，让我们假设 M 的非信息性先验分布M。假设我们观察到。$N = 20$$n = 10$$M$$M \sim \text{BB}(N, .5, .5)$$x = 9$

library(extraDistr)
library(tidyverse)
N = 20
n = 10
a0 <- b0 <- .5
x <- 9
data.frame(
  m = 0:N
) %>% 
  mutate(
    prior = dbbinom(m, size = N, alpha = a0, beta = b0),
    post = dbbinom(m-x, size = N-n, a0+x, b0+n-x)
  ) %>% 
  gather(key, dens, -m) %>% 
  ggplot(aes(m, dens, col = key)) +
  geom_line() +
  geom_point()

^{由reprex 包（v0.2.1）于 2018 年 10 月 10 日创建}

请注意，后支撑是正确的 [ x ,  N  -  n  +  x ]。

Dyer, D. 和 Pierce, RL (1993)。关于超几何抽样中先验分布的选择。统计通讯 - 理论和方法，22（8），2125-2146。

个球的瓮中进行无放回抽样是目标球，比如说蓝色。共轭 beta-二项式先验分布导致未知形式的后验分布$N$$M \le N$$M \in \{x,x+1,\dots,N-n+x\}$

$$f(M\mid x,N,\alpha,\beta) = {N-n \choose M-x} \frac{\Gamma(\alpha+M)\,\Gamma(\beta+N-x)\,\Gamma(\alpha+\beta+n)}{\Gamma(\alpha+x)\,\Gamma(\beta+n-x)\,\Gamma(\alpha+\beta+N)}$$

如中所述

Dyer, D. 和 Pierce, RL (1993)。关于超几何抽样中先验分布的选择。统计通讯 - 理论和方法，22（8），2125-2146。