如果您知道内核本身的 cdf，则无需集成任何东西。我相信这对于所有常见的内核来说都是直截了当的。

注意

1. A KDE 是混合密度

2. 混合物的cdf是 cdf 的混合物。

也就是说，如果$\hat{f}(x)=\frac{1}{n}\sum_i f_i(x)$你的 KDE 在$x$， 然后 $\hat{F}(x)=\frac{1}{n}\sum_i F_i(x)$.

以高斯核为例。如果$x_i$是你的观察，$f_i$是$\frac{1}{\sigma} \phi(\frac{x- x_i}{\sigma})$和$F_i=\Phi(\frac{x-x_i}{\sigma})$, 通常在哪里$\sigma$被定义为带宽（在某些实现中，带宽可能是$\sigma$）。

事实上，R 做到了（定义带宽 =$\sigma$) 对于所有内核，而不仅仅是高斯内核。但是只要您可以将带宽转换为内核的参数就很容易，这样您就可以为 cdf 调用函数。

因此，您可以随时评估混合物的 cdf$x$在线性时间。如果您需要它能够计算$\hat{F}$ 快速，您可以在网格上评估它（足够精细以获得足够的准确性），并在两者之间使用插值（例如，在 R 中，这很容易完成approxfun；毫无疑问 Python 有一种方便的方法来做类似的事情）

这是高斯核的 kde 和 cdf 图的示例。

这是我使用的代码（它是在 R 中完成的——这是一个快速展示这个想法的工具，一个合适的函数将是检查参数、提供更好的信息、标记轴、让你指定内核等等）。主力是第三行，它定义了对 cdf 进行所有实际计算的函数，其他一切都是数据或绘图的细节。

x <- c(11,12,16) #data
xx <- seq(7,20,.1) # plot values for the cdf
kdecdfnorm <- function(x,xdat,bw) rowMeans(pnorm(outer(x,xdat,"-"),0,bw)) #cdf of KDE
opar <- par() # save graphics parameter settings
par(mfrow=c(1,2)) # 1 x 2 plot grid
kde <- density(x)
plot(kde)
bw <- kde$bw 
plot(xx,kdecdfnorm(xx,x,bw),type="l")
abline(h=c(0,1),col=rgb(.5,.5,.5,.5),lty=3)
par(opar) # restore graphics parameters

那是如何rowMeans(pnorm(outer(x,xdat,"-"),0,bw))工作的？

• rowMeans只是在做$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}$它的论点

• pnorm正在计算高斯核项的 cdf，最后一个参数是带宽

• 第一个论点pnorm是$x-x_i$在数据值上（$x_i$) 以及我们想要找到曲线的各种 x

也就是说我们只是在计算$\frac{1}{n}\sum_i \Phi(\frac{x-x_i}{\sigma})$以一种非常直接的方式，跨越任何价值观$x$我们想计算它。