所有这一切乍听之下可能很复杂，但它本质上是关于一些非常简单的事情。

通过累积分布函数，我们表示返回小于或等于某个值的概率的函数，$X$$x$

$$\Pr(X \le x) = F(x).$$

此函数将作为输入并从区间（概率）返回值——让我们将它们表示为。累积分布函数（或分位数函数）的逆会使返回某个值，$x$$[0, 1]$$p$$x$$F(x)$$p$

$$F^{-1}(p) = x.$$

下图以正态累积分布函数（及其反函数）为例说明了这一点。

例子

作为一个简单的示例，您可以采用标准的Gumbel分布。其累积分布函数为

$$F(x) = e^{-e^{-x}}$$

并且可以很容易地反转：回忆自然对数函数是指数函数的反函数，因此很明显， Gumbel 分布的分位数函数是

$$F^{-1}(p) = -\ln(-\ln(p))$$

如您所见，分位数函数根据其替代名称“反转”累积分布函数的行为。

广义逆分布函数

不是每个函数都有逆函数。这就是为什么您引用的引用说“单调递增函数”的原因。回想一下函数的定义，它必须为每个输入值准确地分配一个输出。连续随机变量的累积分布函数满足这一性质，因为它们是单调递增的。对于离散随机变量，累积分布函数不连续且递增，因此我们使用需要非递减的广义逆分布函数。更正式地说，广义逆分布函数定义为

$$F^{-1}(p) = \inf \big\{x \in \mathbb{R}: F(x) \ge p \big\}.$$

定义，翻译成简单的英语，说对于给定的概率值，我们正在寻找一些，这导致返回值大于或等于，但是因为可能有多个值满足这个条件（例如对于任何都为真），所以我们取其中最小的。$p$$x$$F(x)$$p$$x$$F(x) \ge 0$ $x$$x$

没有逆的函数

一般来说，对于不同的输入可以返回相同值的函数没有逆函数，例如密度函数（例如，标准正态密度函数是对称的，因此它对和等返回相同的值）。正态分布是一个有趣的例子还有一个原因——它是不具有封闭逆的累积分布函数的例子之一。并非每个累积分布函数都必须具有封闭形式的逆！希望在这种情况下，可以使用数值方法找到倒数。$-2$$2$

用例

分位数函数可用于随机生成，如逆变换方法如何工作？

蒂姆有一个非常彻底的答案。做得好！

我想再补充一句。并非每个单调递增函数都有反函数。实际上，只有严格单调递增/递减函数才有反函数。

对于非严格单调递增的单调递增 cdf，我们有一个分位数函数，也称为逆累积分布函数。您可以在此处找到更多详细信息。

反函数（对于那些严格增加的 cdf）和分位数函数（对于那些单调增加但不是严格单调增加的 cdfs）都可以表示为，这有时会令人困惑。$F^{-1}$

Forbes、Evans、Hastings 和 Peacock 所著的“统计分布”一书的第 2 章有一个简明的摘要和一致的符号。

分位数是变量（即变量）的任何可能值（例如，在随机抽取的上下文中）。作者举了一个抛 2 个硬币作为集合 {HH, HT, TH, TT} 的样本空间的例子。该样本中正面的数量是有序集合 {0, 1, 2} 的分位数。

对于概率分布或质量函数，您在 x 轴上绘制变量，在 y 轴上绘制概率。

如果您知道概率和函数并想从中推导出 x 轴上的变量，您将反转函数或近似它的反转以获得 x，知道 y。

离散或连续 pdf 沿 y 轴的离散或连续值可能不会增加，并且可能有多个 x 会导致相同的 y。

CDF（累积分布函数）更方便，因为绘制的函数沿 x 轴和 y 轴增加。提取分位数，即 CDF 中的变量通常更容易数学。

书中有一些图表展示了离散概率分布的属性，第 2 章中的 CDF 以及这些在你的问题上面发布的答案中也有显示（尽管我在输入这个时看不到它们回答）。

表 2.1 对许多术语进行了简明总结，第 4 项用于逆分布函数或分位数函数（概率 alpha），指的是从以概率为参数的逆函数中确定 x。

这本书是一本带有示例的实用手册，尽管实现反函数需要其他资源（如可在 NIST 找到的预计算表或已发布的近似算法等 。https://www.itl.nist.gov/div898/handbook /eda/section3/eda367.htm）。

（注意：第一句之后的所有内容都是根据 gung 的评论添加的。）