让我们从伽马分布随机变量的 pdf 开始$X$， 在哪里$\alpha$是形状参数和$\beta$是速率参数（如果$\beta$是尺度参数；两个参数都是严格的正数）：

$$f_X(x) = \frac{x ^ {\alpha - 1} \beta ^ \alpha e ^ {-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}$$

现在让$\alpha = \nu / 2$和$\beta = 1/2$. 在上面的等式中进行这些替换后，我们得到

$$f_X(x) = \frac{x ^ {\frac{\nu}{2} - 1} e ^ {-x / 2}}{\Gamma(\nu / 2) 2 ^ {\nu / 2}},$$

您可以将其识别为卡方分布随机变量的 pdf。由于我们固定$\beta$作为一个常数 (1/2)，我们将一个 2 参数随机变量转换为仅依赖于一个参数的随机变量 ($\nu$) .