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是b i n o m i a l (n,p)binomial(n,p)家庭既完整又弯曲nn固定的？

机器算法验证二项分布指数族

2022-04-11 09:37:27

让 $n$ 是一个固定的正整数。二项式 $(n, p)$ 族由我们可以将 (1) 重写为并说二项式是一个完整的指数族。然而，可以将 (1) 重新排列为现在它变成了一个弯曲的指数族，因为是固定的。

\begin{matrix} (1) & f (x | p) = (\binom{n}{x}) p^{x} (1 - p)^{n - x} . \end{matrix}

$f(x|p)=\tbinom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}\tag{1}.$

f (x | p) = (\binom{n}{x}) (1 - p)^{n} \exp [x \log \frac{p}{1 - p}]

$f(x|p)=\tbinom{n}{x}(1-p)^n\exp\left[x\log\frac{p}{1-p}\right]$

(n, p)

$(n, p)$

f (x | p) = (\binom{n}{x}) \exp [x \log p + (n - x) \log (1 - p)] .

$f(x|p)=\tbinom{n}{x}\exp \left[x\log p+(n-x)\log(1-p)\right].$

n

$n$

我是统计学的初学者。我知道有一个例子（例如：正常家庭），分布是完整的，但随着参数满足某些特定关系而弯曲。二项式族既满又弯曲对吗？ $(n, p)$

[参考]

统计推断，George Casella 和 Roger L. Berger

1个回答

来自Casella & Berger，第 137-38 页：

当给定时，(1) 是一个指数族。它是满的，因为参数空间是最大的。从某种意义上说，当范围 ) 。将其重写为似乎是在增加维度的自然统计量，因此给人一种弯曲指数族的印象，但这只是一种印象，因为和是线性相关的：因此表示 (2) 不是最小的。换句话说，可以将 (2) 重写为 $n$ $(0,1)$

\log p - \log (1 - p)

$\log p - \log (1-p)$

(- \infty, + \infty)

$(-\infty,+\infty)$

p \in (0, 1)

$p\in(0,1)$

\begin{matrix} (2) & f (x | p) = (\binom{n}{x}) \exp [x \log p + (n - x) \log (1 - p)] \end{matrix}

$f(x|p)=\tbinom{n}{x}\exp \left[x\log p+(n-x)\log(1-p)\right]\tag{2}$

x

$x$

(n - x)

$(n-x)$

x + (n - x) = n

$x+(n-x)=n$

\exp [x \log p + (n - x) \log (1 - p)] = \exp [x {\log p - \log (1 - p)} \underset{\begin{matrix} normalising \\ constant \end{matrix}}{\underset{⏟}{+ n \log (1 - p)}}]

$\exp \left[x\log p+(n-x)\log(1-p)\right]=\exp \left[x\{\log p-\log(1-p)\}\underbrace{+n\log(1-p)}_{\substack{\text{normalising}\\ \text{constant}}}\right]$ 并推断出存在一维充分统计量。

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