机器算法验证 - 一组骰子掷出的某个值总和的概率 - 吾爱随笔录

一组骰子掷出的某个值总和的概率

机器算法验证自习二项分布骰子

2022-03-25 18:19:35

一个六面模具被滚动 100 次。使用正态近似，找出显示 6 的人脸出现 15 到 20 次的概率。求 100 次试验的面值之和小于 300 的概率。

对于问题的第一部分，我做了以下事情：

$P(15 \le X \le 20) = \sum_{15 \le i \le 20} C(100,i)(\frac{1}{6})^i(\frac{5}{6})^{100-i}$

其中 X 是掷出的六点数。我的回答是关于0.56。

我不知道如何做第二部分。我知道我必须做类似的事情

$P(Y<300|N=100)$

其中 Y 是总和，N 是滚动的次数。但我不知道总和的概率，所以我被卡住了。

2个回答

在对 Glen 的回答的评论中，您似乎使用了正态近似值pnorm(300, 350, sqrt(3500/12))来获得 0.001707396。这不是一个糟糕的答案，尽管您可以做得更好。

如果您使用连续性校正，pnorm(299.5, 350, sqrt(3500/12))您将获得连续性校正0.001553355。我怀疑这是被要求的。

事实上，可以更精确地计算这一点。下面的 R 代码就是这样做的（是的，我知道它有for循环）。

sides <-  6   
throws <- 100 

## p[j,i] is probability of exactly (j+sides) after (i+1) throws 
p <- matrix(rep(0, sides*(throws+1)^2 ), ncol=throws+1 )
p[sides,1] <- 1 # probability 1 of score of 0 after 0 throws  

for (i in 2:(throws+1) ){
  for (j in (sides+1):(sides*(throws+1)) ){
     p[j,i] <-  sum(p[(j-sides):(j-1), i-1]) / sides
                                          } 
                            }
sum( p[0:(299+sides), throws+1] )

这给出了结果0.001505810。

带连续性校正的正态近似值在 0.00005 以内，看起来不错，虽然相对误差在 3% 左右，看起来略逊一筹；这通常使用分布尾部的正态近似来发生。

由于 CLT，分布了 iid 随机变量的总和：

\sum_{i = 1}^{n} X_{i} \sim N (μ = n \cdot μ_{X_{i}}, σ^{2} = n \cdot σ_{X_{i}}^{2})

$\sum_{i=1}^nX_i \sim N\left(\mu =n\cdot\mu_{X_i},\sigma^2 = n\cdot\sigma^2_{X_i}\right)$

一次掷骰子 ( ) 的平均值为 3.5，方差为 35/12。 $X_i$

这应该可以帮助您找到答案。

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