机器算法验证 - 将 CLT 应用于随机变量的总和是否是一个很好的近似值？ - 吾爱随笔录

我使用来表示具有平均和方差的分布，添加表示正态分布。 $(\mu, \sigma^2)$ $\mu$ $\sigma^2$ $\mathcal{N}$

假设与。中心极限定理 (CLT) 的正式陈述说这里讨论的语句不是关于分布收敛的语句，而是而是一个近似值。时，这个近似值经常被认为是一个相当不错的近似值。 $X_1, \dots, X_n\overset{\text{iid}}{\sim}(\mu, \sigma^2)$ $\sigma^2 < \infty$

\frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ / \sqrt{n}} \overset{d}{\to} N (0, 1) .

$\dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\overset{d}{\to}\mathcal{N}(0, 1)\text{.}$

{\bar{X}}_{n} \sim N (μ, σ^{2} / n)

$\bar{X}_n \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2/n)$

n \geq 30

$n \geq 30$

现在，理论上，我们可以更进一步说是来自 CLT 的近似声明。

\begin{matrix} (1) & \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \sim N (n μ, n σ^{2}) \end{matrix}

$\sum_{i=1}^{n}X_i\sim\mathcal{N}(n\mu, n\sigma^2)\tag{1}$

鉴于不是实际的 CLT，我想知道这个近似值的性能如何。总体表现是否良好？老实说，在分布特别偏斜的情况下，我会担心这一点。 $(1)$

如果这太宽泛，我可以关闭它。