我目前正在对 Wasserman 的All of Statistics进行自学。

定理 5.10 指出，对于$X_1, ..., X_n$具有均值的 IID$\mu$和方差$\sigma^2$， 我们有$\frac{\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)}{S_n} \xrightarrow{D} N(0,1)$， 在哪里$\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$和$S^2_n = \frac{1}{n - 1}\sum_{i=1}^n(X_i - \bar{X}_n)^2$. 该陈述似乎与中心极限定理相同，但具有$\sigma$取而代之$S_n$.

我的问题是：这个定理是否正确，如何证明这一点？没有给出证据，我无法在其他地方找到这个结果。

我想强调一下，我想知道这个陈述是否如所述那样真实，而不是想知道它是否有用近似$\sigma^2$和$S^2_n$用于其他目的。