仅由递归方程定义的时间序列过程并未完全指定，因为它们取决于“起始分布”的规范。除非您需要满足一些额外的限制，否则您可以使用任何您喜欢的起始分布，并且您仍然会拥有一个符合指定递归方程的 AR 模型。然而，话虽如此，但通常情况下我们想要指定一个固定的AR 模型，这会在递归方程之外施加额外的限制。如果您希望您的 AR 模型是平稳的，那么您需要并且您还需要选择初始值的边际分布等于过程的渐近分布。$|\alpha|<1$

要获得平稳模型所需的边际分布，您可以通过将边际分布的方差设置为 . 从定义你的 AR 过程的递归方程，你有：$\sigma_X^2 = \mathbb{V}(X_t) = \mathbb{V}(X_{t-1})$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \sigma_X^2 = \mathbb{V}(X_t) &= \mathbb{V}(\alpha X_{t-1} + e_t) \\[6pt] &= \alpha^2 \mathbb{V}(X_{t-1}) + \mathbb{V}(e_t) \\[6pt] &= \alpha^2 \sigma_X^2 + \sigma^2. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

求解得到：$\sigma_X$

$$\sigma_X^2 = \frac{\sigma^2}{1-\alpha^2}.$$

因此，为了获得（强）平稳的 AR 模型（均值为零），您将使用起始分布：

$$X_i \sim \text{N} \Big( 0, \frac{\sigma^2}{1-\alpha^2} \Big).$$

使用此起始分布可确保时间序列值都具有相同的边际分布，从而为您提供平稳的过程。您会从这个结果中注意到，如果自相关参数的绝对值更接近 1，则序列的边际方差会更大。那是因为这样的过程具有很高的自相关性，这会导致过程中出现较大的翅膀，从而导致更高的（边际）方差。

这里要注意的另一件事是，您的 AR 模型中没有均值项，因此它的渐近均值为零，因此我们在起始分布中使用了均值为零。如果您愿意，您可以将模型概括为具有平均参数，但这会稍微改变递归方程。我已经在此处类似问题的另一个答案中讨论了更通用的 AR 模型的这个问题，我建议您阅读该答案来补充这个答案。