机器算法验证 - 为什么我们关心 MA 过程是否可逆？ - 吾爱随笔录

为什么我们关心 MA 过程是否可逆？

机器算法验证时间序列数理统计自回归的移动平均线

2022-02-10 23:21:42

我无法理解为什么我们关心 MA 过程是否可逆。

如果我错了，请纠正我，但我可以理解为什么我们关心 AR 过程是否是因果关系，即我们是否可以“重写它”，可以这么说，作为一些参数和白噪声的总和 -即移动平均过程。如果是这样，我们可以很容易地看到 AR 过程是因果关系。

但是，我无法理解为什么我们关心是否可以通过证明 MA 过程是可逆的来将 MA 过程表示为 AR 过程。我真的不明白我们为什么要关心。

任何见解都会很棒。

1个回答

可逆性并不是什么大问题，因为几乎所有高斯、不可逆 MA $(q)$ 模型可以更改为可逆 MA $(q)$ 通过更改参数值来表示相同过程的模型。MA(1) 模型的大多数教科书都提到了这一点，但更普遍的是。

例如，考虑 MA(2) 模型

\begin{matrix} (1) & z_{t} = (1 - 0.2 B) (1 - 2 B) w_{t}, \end{matrix}

$z_t = (1-0.2B)(1-2B)w_t, \tag{1}$ 在哪里

w_{t}

$w_t$ 是有方差的白噪声

σ_{w}^{2}

$\sigma_w^2$ . 这不是一个可逆模型，因为

θ (B)

$\theta(B)$ 在单位圆内有一个等于 0.5 的根。但是，考虑通过将此根更改为其倒数 2 获得的替代 MA(2) 模型，使得模型采用以下形式

\begin{matrix} (2) & z_{t} = (1 - 0.2 B) (1 - 0.5 B) w_{t}^{'} \end{matrix}

$z_t = (1-0.2B)(1-0.5 B)w_t' \tag{2}$ 在哪里

w_{t}^{'}

$w_t'$ 有方差

σ_{w}^{' 2} = 4 σ_{w}^{2}

$\sigma_w'^2=4\sigma_w^2$ . 您可以轻松地验证模型 (1) 和 (2) 都具有相同的自协方差函数，因此如果过程是高斯的，则为数据指定相同的分布。

使模型可识别，以便从 $\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_q,\sigma_w^2$ 对于数据的分布，因此按照惯例，参数空间仅限于可逆模型。这种特殊的约定是首选，因为模型可以直接放入 AR $(\infty)$ 带系数的表格 $\pi_1,\pi_2,\dots$ 满足简单差分方程 $\theta(B)\pi_i=0$ .

如果我们不对参数空间施加这种限制，则 MA 的似然函数 $(q)$ 一般来说，最多 $2^q$ 局部最优（如果 MA 多项式有 $q$ 不同的实根）这是我们想要避免的。

您始终可以使用上述技术将根从单位圆内移到单位圆外，相应地改变白噪声方差，除非 MA 多项式在单位圆上有一个或多个根。

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