机器算法验证 - 如何从样本均值和样本方差估计对数正态分布的参数 - 吾爱随笔录 - 问答

如何从样本均值和样本方差估计对数正态分布的参数

机器算法验证估计描述性统计对数正态分布

2022-03-26 10:44:55

给定样本均值 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^2$ 随机变量 $X$ , 是否可以估计形状 $\sigma^2$ 和对数刻度 $\mu$ 对数正态分布，具有概率密度函数

f_{X} (x; μ, σ^{2}) = \frac{1}{x \sqrt{2 π σ^{2}}} e x p (- \frac{(\ln x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}), if x > 0,

$f_X(x;\mu,\sigma^2) =\frac{1}{x \sqrt{2 \pi \sigma^2}}\, \mathrm{exp}\left( {-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}}\right), \text{ if } x>0,$ 如果是这样，任何结果公式是如何得出的？

2个回答

假设 $X = \ln(Y)$ 服从正态分布，均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ ( $N(\mu,\sigma^2)$ ）。

使用

E (g (X)) = \int_{- \infty}^{+ \infty} g (x) p (x) d x

$E(g(X)) = \int_{-\infty}^{+\infty}g(x)p(x)dx$ （在哪里

p (x)

$p(x)$ 是正态分布的pdf），我们有

E (Y) = E (\exp (X)) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \exp (x) p (x) d x = \exp (σ^{2} / 2 + μ)

$E(Y) = E(\exp(X)) = \int_{-\infty}^{+\infty}\exp(x)p(x)dx=\exp(\sigma^2/2+\mu)$

E (Y^{2}) = E (\exp (X)^{2}) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \exp (x)^{2} p (x) d x = \exp (2 σ^{2} + 2 μ)

$E(Y^2) = E(\exp(X)^2) = \int_{-\infty}^{+\infty}\exp(x)^2p(x)dx=\exp(2\sigma^2+2\mu)$

从中我们得出结论，方差是

V (Y) = \exp (2 μ + 2 σ^{2}) - \exp (2 μ + σ^{2})

$V(Y) = \exp(2\mu+2\sigma^2)-\exp(2\mu+\sigma^2)$

这不是您问题的直接答案：

但是，如果您可以获得log X的均值和标准差，那么您应该能够重用现有的估计量来进行正态分布。

这似乎是最简单的方法，实际上，除非另外有一个位置参数。

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