如果您想查看和 （的条件期望）之间的关系是否是线性的，在调整控制变量，一种简单的图形方法是使用以下方法创建一个加变量图程序。$y$$x_0$$x_1, x_2, \dots, x_p$

首先，在并从回归中获得残差。然后，在 回归 X_0并从回归中获得残差。$y$$x_1, x_2, \dots, x_p$$\hat{\epsilon}_y$$X_0$$x_1, x_2, \dots, x_p$$\hat{\epsilon}_{x_0}$

对的散点图，并将非参数曲线（例如黄土）与线性回归线重叠。根据Frisch-Waugh 定理的“长”回归完全相同的斜率。非参数曲线将让您了解和之间的关系在多大程度上可以近似为线性。$\hat{\epsilon}_y$$\hat{\epsilon}_{x_0}$$x_0, x_1, \dots, x_p$$y$$x_0$

一些简单的 R 代码来演示：

data(mtcars)

# full model, with all control variables 
fullmod = lm(mpg ~ wt + vs + gear + am, mtcars)
coef(mod)[2]
>     wt 
> -3.786

# regress y on controls and x on controls, extract residuals
eps_y = lm(mpg ~ vs + gear + am, mtcars)$residuals
eps_x = lm(wt ~ vs + gear + am, mtcars)$residuals

# regress epsilon_y on epsilon_x, see the coef is the same as above
coef(lm(eps_y ~ eps_x))[2]
>  eps_y 
> -3.786

# make added variable plot
library(ggplot2)
qplot(x = eps_x, y = eps_y) + 
  geom_smooth(method = "lm", colour = "black", se= FALSE) + 
  geom_smooth(method = "loess", colour = "red", se = FALSE)

正如@stephan-kolassa 提到的。添加的样条部分可能比二次项更有益，因为这不会明确确定模型的非线性。可以从那里执行似然比检验或 F 检验。

现在，我认为这种方法存在一些问题需要考虑。

1. 该模型将测试 vs$H_0: Y=X\beta+\epsilon$$H_a:Y=X\beta + f(x) + \epsilon$， 在哪里$f(x)$是样条模型。在这种情况下，你只能说数据没有提供非线性项的证据，它永远不会真正验证线性假设。

2. 此外，可能存在模型可能永远不会真正线性的正态性问题测试。因此，就像测试正态性一样，测试无法拒绝真实假设的唯一原因是因为样本量不足，因为没有数据实际上是正常的。这同样适用于测试线性，线性是一个理论假设，没有拒绝可能是由于缺乏样本量而不是假设实际上是正确的。

3. 最好的选择可能是通过模型选择将线性模型视为最佳模型。这可以通过 AIC/BIC（实际上非​​常擅长测试嵌套模型）或交叉验证或某种偏差度量（模型似乎在$\chi^2$它应该代表）。