机器算法验证 - 这也是成为贝叶斯估计量的*必要*条件，还是仅是充分条件？ - 吾爱随笔录

贝叶斯估计量是最小化贝叶斯风险的估计量。具体来说，当且仅当

δ_{Λ} = \arg min BR (Λ, δ) := \int R (θ, δ) d Λ (θ) = \int (\int L (θ, δ (x)) d x) d Λ (θ)

$\delta_{\Lambda} = \arg\min \operatorname{BR}(\Lambda,\delta) := \int R(\theta, \delta) d \Lambda(\theta) = \int \left( \int L(\theta, \delta(x))dx \right) d \Lambda(\theta)$ 其中是给定的损失函数，是对应的风险函数，定义为贝叶斯风险是一个贝叶斯估计量。

L (θ, δ (X))

$L(\theta, \delta(X))$

R (θ, δ)

$R(\theta, \delta)$

BR (Λ, δ)

$\operatorname{BR}(\Lambda, \delta)$

δ_{Λ}

$\delta_{\Lambda}$

第 4.1.1 条定理 Casella, Lehmann, Theory of Point Estimation 的228以及第 7.1 页的定理。Keener 的 116, Theoretical Statistics: Topics for a Core Course成为贝叶斯估计量的以下充分条件： $\delta_{\Lambda}$

\forall x, δ_{Λ} = \arg min E [L (Θ, δ (X)) | X = x]

$\forall x, \quad \delta_{\Lambda} = \arg\min \mathbb{E}\left[ L(\Theta, \delta(X))| X = x \right]$

很明显为什么这是一个充分条件：首先对积分，我们通过积分的单调性对于。然后，对进行积分，我们再次通过积分的单调性得到贝叶斯风险的。 $x$ $\arg\min$ $\mathbb{E}[L(\Theta, \delta(X))] = \int L(\Theta, \delta(x)) dx = R(\Theta, \delta)$ $\theta$ $\arg\min$

问题：上述条件对于是贝叶斯估计量是必要的吗？ $\delta_{\Lambda}$

直观地说，除非我们有额外的条件保证贝叶斯估计器的 -as），否则我看不出有任何必要的理由。此外，我上面提到的两本书中的证明似乎只显示了充分性，而不是必要性。 $\mathcal{P}$

然而，维基百科说：“一个估计量......如果它使所有估计量中的贝叶斯风险最小化，则被称为贝叶斯估计量。等效地，最小化后验预期损失的估计量......对于每个 x 。” 即似乎暗示这两个条件是等价的，即后一个条件不仅是充分的，而且是必要的。这实际上是真的吗？