机器算法验证 - 具有 t-student 错误的 ARMA 过程的无条件分布 - 吾爱随笔录

具有 t-student 错误的 ARMA 过程的无条件分布

机器算法验证时间序列自习参考有马 t分布

2022-04-08 19:34:21

在模型中，当误差为正态分布时，的无条件分布为正态分布。当误差具有自由度为的无条件分布是什么？ $Y_t\sim ARMA(p,q)$ $Y_t$ $\nu$ $Y_t$

所以其中。

Y_{t} = ϕ_{1} Y_{t - 1} + \dots + ϕ_{p} Y_{t - p} + e_{t} - θ_{1} e_{t - 1} - \dots - θ_{q} e_{t - q}

$Y_t=\phi_1Y_{t-1}+\dots+\phi_pY_{t-p}+e_t-\theta_1e_{t-1}-\dots-\theta_q e_{t-q}$

e_{t} \sim t_{ν}

$e_t\sim t_\nu$

我不知道如何找到它的分布以及我所拥有的书籍大多只涵盖高斯错误的情况。

一些参考资料也会很有趣。

1个回答

ARMA 模型属于线性模型的一般类别，其中您的可观察向量是 IID 误差项的基础向量的线性函数。考虑具有遵循 T 分布的 IID 误差的一般线性模型形式：

Y_{t} = \sum_{k = 0}^{\infty} A_{k} ε_{t - k} ε_{k} \sim IID Student T (df = ν) .

$Y_t = \sum_{k=0}^\infty A_k \varepsilon_{t-k} \quad \quad \quad \varepsilon_k \sim \text{IID Student T}(\text{df} = \nu). \quad \quad \quad \quad$

学生 T 分布的有用属性之一是它可以写成正态与伽马分布精度参数的混合。有了这种表示，上述模型形式可以等价地写成：

Y_{t} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{A_{k} ϵ_{t - k}}{\sqrt{λ_{k}}} ϵ_{k} \sim IID N (0, 1) λ_{k} \sim Gamma (\frac{ν}{2}, \frac{ν}{2}) .

$Y_t = \sum_{k=0}^\infty \frac{A_k \epsilon_{t-k}}{\sqrt{\lambda_k}} \quad \quad \quad \epsilon_k \sim \text{IID N}(0, 1) \quad \lambda_k \sim \text{Gamma}(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{\nu}{2}).$

您可以从这个表格中看到，值是独立项的总和，这些独立项分别是正态随机变量和伽马随机变量的比率（给出缩放的 T 随机变量）。本模型与标准高斯线性模型之间的区别在于总和中存在分母项。（在标准高斯情况下，我们固定了。） $Y_t$ $\lambda = \lambda_k$

这个量的分布是一个复杂的卷积，但 CLT 确保它在温和条件下收敛到正态。可以通过将随机根伽马分母应用于求和项来模拟分布，这使数量的可变性比标准高斯线性模型中的变化更大。

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