这是一个很好的问题。我会试一试...用表示正态分布的 cdf，用表示它的密度。最高分的联合分布是 （即，之下个值，以及观察到的其他值）。$\Phi$$\phi$$n$$y_{(N-n+1)}, \dots, y_{(N)}$

$${N ! \over (N-n) !} \Phi(y_{(N-n+1)})^{N-n} \phi(y_{(N-n+1)}) \cdots \phi( y_{(N)} ),$$ $N-n$$N$$y_{(N-n+1)}$

乍一看这有点令人费解：通常的设置是你知道和并且你想推断分布的参数。在这里您只对感兴趣，因此通过最大化 $N$$n$$N$

$$(N - n) \log \Phi(y_{(N-n+1)}) + \log(N!) - \log\left((N-n) !\right).$$

这有点直观：最后录取的分数和录取的数量都很重要。$y_{(N-n+1)}$

一个快速的数值实验：

> N <- 1000
> set.seed(1)
> x <- sort(rnorm(N), decreasing=TRUE)[1:10]  
> x
[1] 3.810277 3.055742 2.675741 2.649167 2.497662 2.446531 2.401618 2.350554
[9] 2.349493 2.321334
> f <- function(N, n = 10, xn = x[n])  
+      (N-n)*log(pnorm(xn)) + lfactorial(N) - lfactorial(N-n)
> plot( 800:1200, sapply(800:1200, f), type="l")

这看起来很有希望。让我们看看这个估计器的属性，同样是：$n = 10$

> MLE <- replicate( 1e4, {x <- sort(rnorm(N), decreasing=TRUE)[1:10]; 
+        optimize(f, c(100,20000), maximum=TRUE, xn = x[10])$maximum} )
> mean(MLE)
[1] 1112.798
> sd(MLE)
[1] 393.086
> hist(MLE, breaks=40)

但是，从您对问题的编辑中，我认为您想估计和正态分布的参数。这可以通过最大化联合密度以上的对数来完成。但是，对于您的具体应用程序，底层分布不太可能是正常的。这肯定是各种准备的候选人的成绩之间的混合，我对获得良好估计的可能性并不乐观。$n$

---

所以让我们再试一次，正态分布的参数未知：

g <- function(N, mu, sd, X) {
  n <- length(x); 
  (N-n)*pnorm(X[n], mean = mu, sd = sd, log.p = TRUE) 
  + sum(dnorm(X, mean=mu, sd=sd, log=TRUE)) 
  + lfactorial(N) - lfactorial(N-n) 
}

> optim( c(1000,0,1), function(theta) -g(theta[1], theta[2], theta[3], x) )
$par
[1] 292951.707061     -3.650634      1.498264

$value
[1] -13.78503

所以 MLE 在这里说，最好的猜测是平均值 -3.65（而不是 0），标准差为 1.49（而不是 1，好吧，好吧），大小 ... hu...再试一次：10 次观察并不多！$N = 293 000$$n = 100$

> set.seed(17)
> x <- sort(rnorm(N), decreasing=TRUE)[1:100] 
> optim( c(1000,0,1), function(theta) -g(theta[1], theta[2], theta[3], x) )
$par
[1] 1031.1320174   -0.2112833    1.1694436

$value
[1] -321.6677

没那么糟糕……？但如果我再试一次set.seed(18)的估计值是 5000...！我可能会遗漏一些东西，但目前我仍然很悲观。$N$

而且，在现实世界中，成绩也不正常。坦率地说，双峰分布并不罕见，而右尾通常很特别。最好的学生/候选人离分布很远，我曾多次检查过这一点。因此，依靠右尾来进行这些估计是错误的：例如，如果最佳候选者都来自一个（相对）同质的非常聪明且准备充分的候选者组，那么您将只估计本组；你不会有任何关于（更多）准备不足的候选人的信息。$n = 20$$100$