让$\{X_i\}_{i=1}^n\overset{iid}{\sim}\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$. 让 $\{b_i\}_{i=1}^n$是一个数字序列，使得$\sum_{i=1}^nb_i=0$ 和$\sum_{i=1}^nb^2_i=1$. 定义

$$S^2=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2 \text{ and } Y=\sum_{i=1}^nb_iX_i$$ .

你对联合分布有什么想说的$Y$和$S^2-Y^2$?

我只能得到边际分布$Y\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$,$S^2\sim\sigma^2\chi_{n-1}^2$和$Y^2/\sigma^2\sim\chi^2_{1}$. 关于联合分布我们能说什么$Y$和$S^2-Y^2$? 我尝试了巴苏定理，基于以下事实$S^2$是完整且足够的$\sigma^2$但我不能用这个显示任何东西......