我一直在试图理解考克斯定理和围绕它的问题。关于这个主题的信息太多了，以至于我对定理的确切状态感到困惑。我收集了三个主要问题，但由于它们涵盖了广泛的主题，我将其拆分为多个问题。我希望这已经足够缩小（原始问题）。

这个问题似乎有点晦涩难懂。Cox 定理中的可数可加性似乎存在问题，我能找到的资料中只有A. Terenin & D. Draper （Rigorizing and Extending the Cox-Jaynes Derivation of Probability, 2015）提到。事实上，他们写这篇论文的大部分动机似乎是为 Cox-Jaynes 方法添加可数可加性。我的猜测是，在讨论可数无限大的命题域时，这是必要的，其他作者没有明确处理。K. Van Horn （A Guide to Cox's Theorem，2003 年）提到了 Cox 定理中围绕域大小的争议，但将其作为一个未解决的问题（关于该问题，请参见此处）。

据我了解，也有支持不可数无限域的论点。例如，Snow （关于有限域 Cox 定理的正确性和合理性，1998 年，第 4 节）给出了需要无数个无限域才能给出合理答案的情况示例。Terenin 和 Draper 声称也解决了不可数的情况，但我只能找到可数可加性的证明。

我对这些概念不是特别熟悉，我想知道可数可加性是否是推理不可数无限的命题集的充分条件。如果没有，那我错过了什么？

编辑：根据要求，更具体一点：Cox-Jaynes 方法涉及合理性函数$\mathbb{P}_{CJ} : (\mathscr{C} \times \mathscr{C}) \rightarrow [0,1]$映射一个命题$(A|B) \in (\mathscr{C} \times \mathscr{C})$到一个实数$[0,1]$.$\mathscr{C}$是一组命题，例如$A$或者$B$. 关于域的基数存在一些争议$\mathbb{P}_{CJ}$（这里），这是我们正在推理的一组条件。最普遍的情况是域没有基数限制，这也是 Terenin 和 Draper 争论的情况。因此，他们证明了他们编辑的 Cox 公理的有限和可数可加性。我在这个领域没有太多经验，我想知道当域没有基数限制时可数可加性是否足够。