为什么我不能展开$(X + Y)^2$要得到$E(X^2 + 2XY + Y^2)$

你可以。

然后使用线性度得到$E(X^2) + 2E(X)E(Y) + E(Y^2)$

你可以

那么自从$X$和$Y$是独立的，

对...但是您在上一步编写时已经使用了独立性$E(XY)$作为$E(X)\,E(Y)$.

这会给$E(X)^2 + 2(1)(1) + E(Y)^2 = 1 + 2 + 1 = 4$.

没有。你刚去了$E(X^2) = E(X)^2$; 这不是真的。当您以另一种方式进行操作时，您就得到了正确的操作。注意：

$E(X^2) = \text{Var}(X) + E(X)^2 = 1 + 1 = 2$

然后结果如下。

（最简单的方法是先添加随机变量，然后找到平方的期望值，但是通过扩展平方是完全可行的）

你不能说$E(X^2)=E(X)^2$自从$X$不独立于$X$. 对于这个问题，你可以设置$Z=X_1+X_2 \sim \text{Poisson}$平均$2$. 比你能找到的$E(Z^2)$容易地。