机器算法验证 - 给定方差为 1 且具有成对相关性的随机变量和变量的个值，我们可以恢复第个值吗？nn− 1 / ( n − 1 )−1/(n−1)n - 1n−1nn - 吾爱随笔录

机器算法验证相关性条件概率协方差

2022-04-05 10:09:43

令为到为方差为 1 且具有成对相关的随机变量。假设我们知道个值，我们可以恢复第个值吗？ $X_i$ $i=1$ $n$ $\frac{-1}{n-1}$ $n-1$ $X_i$ $n$

对于的情况，这将询问当两个随机变量和（两者都具有方差 1）具有相关性时，我们能否确定给定另一个变量的值？ $n=2$ $X$ $Y$ $-1$

我了解如何构造具有指定相关性并满足给定个值的属性的随机变量，我们可以推断出第个值，但我不确定如何证明这是否始终成立（如果确实如此）。 $n-1$ $n$

对于上下文，数量是随机变量的最小成对相关性。 $\frac{-1}{n-1}$ $n$

2个回答

由于随机变量的总和为一个常数。如果你知道这个常数，那么是的，知道个随机变量的实现会给你最后一个。

Var (X_{1} + \dots + X_{n}) = n + n (n - 1) (- \frac{1}{n - 1}) = 0

$\text{Var}(X_1 + \cdots + X_n) = n + n(n-1) \left(-\frac{1}{n-1}\right) = 0$

n

$n$

n - 1

$n-1$

但是，如果我们不知道这个常数，除了您问题中给出的方差和相关性之外没有更多信息，我不确定我们能做多少。例如，我相信每个分布的平均值可以自由设置为任何值。个随机变量的单个实现根本不会告诉您关于最后一个变量的太多信息，因为方差和相关性在加性偏移下是不变的。 $n-1$

作为@angryavian 观点的一个具体例子， $n=2$

如果您采用，则可能有或或，这些都将具有单位方差和相关性。一般来说，，可以自由选择。 $X_1\sim N(0,1)$ $X_2=42-X_1$ $X_2=69-X_1$ $X_2=17-X_1$ $-1$ $X_n = A-\sum_{i=1}^{n-1} X_i$ $A$

如果您还需要E会有一个独特的答案 $E[X_i]=0$

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