机器算法验证 - 参数化 Gamma 分布的等效方法 - 吾爱随笔录

机器算法验证伽马分布 scipy

2022-04-11 14:48:07

f (x, α) = \frac{x^{α - 1} e^{- x}}{Γ (α)}

$f(x, \alpha) = \frac{x^{\alpha - 1} e^{-x}}{\Gamma(\alpha)}$

该文档还说这相当于参数化 Gamma 分布的更常见方法

f (x, α, β) = \frac{β^{α} x^{α - 1} e^{- β x}}{Γ (α)}

$f(x, \alpha, \beta) = \frac{\beta^\alpha x^{\alpha - 1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}$

但规模为。 $\frac{1}{\beta}$

谁能提供更多细节来说明两者是如何等效的？

我不确定这是否是正确的方法，但是如果我将代入第一个方程，与第二个方程相比，似乎会缺少 $x = \beta y$ $\beta$

2个回答

这个分布是具有固定尺度参数。 $f(x, \alpha) = \frac{x^{\alpha - 1} e^{-x}}{\Gamma(\alpha)}$ $1/\beta = \theta = 1$

文章进一步指出

上面的概率密度以“标准化”形式定义。要移动和/或缩放分布，请使用 loc 和 scale 参数。具体来说， gamma.pdf(x, a, loc, scale) 等同于 gamma.pdf(y, a) / scale y = (x - loc) / scale

所以，最后，他们通过使用参数把第二个参数放回去了scale。

如果我将代入第一个方程，与第二个方程相比，似乎会有一个因子缺失。 $x = \beta y$ $\beta$

如果你变换变量你有点挤压或拉伸密度函数。执行此操作时，您还需要更正高度，以便 pdf 集成到总面积 1。 $x = \beta y$

密度变量的变化需要的不仅仅是替代。特别是您需要乘以反函数的导数的绝对值。如果您考虑累积分布函数然后微分以获得密度，这将更加明显：额外的乘法因子将通过链式法则来。

如果严格增加，您可以考虑如果严格下降。结合这两个结果，一个典型的说法是，如果你有并且想考虑的密度，那么虽然当不是双射时它会变得更复杂 $g(x)$

f_{Y} (y) = \frac{d}{d y} F_{Y} (y) = \frac{d}{d y} F_{X} (g^{- 1} (y)) = f_{X} (g^{- 1} (y)) \frac{d}{d y} (g^{- 1} (y))

$f_Y(y)=\tfrac{d}{dy} F_Y(y) = \tfrac{d}{dy} F_X\big(g^{-1}(y)\big) = f_X\big(g^{-1}(y)\big) \tfrac{d}{dy} \big(g^{-1}(y)\big)$

g (x)

$g(x)$

f_{X} (x)

$f_X(x)$

Y = g (X)

$Y=g(X)$

f_{Y} (y) = f_{X} (g^{- 1} (y)) | \frac{d}{d y} (g^{- 1} (y)) |

$f_Y(y) =f_X\big(g^{-1}(y)\big) \left| \tfrac{d}{dy} \big(g^{-1}(y)\big) \right|$

g (x)

$g(x)$

在你的例子所以因此你需要乘以 $g(x)=\frac x\beta$ $g^{-1}(y)=\beta y$ $\left| \tfrac{d}{dy} \big(g^{-1}(y)\big) \right| = \beta$

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