机器算法验证 - 为什么概率收敛被定义为收敛到 RV？ - 吾爱随笔录 - 问答

为什么概率收敛被定义为收敛到 RV？

机器算法验证可能性随机变量收敛

2022-03-19 15:29:59

维基百科将概率收敛定义为

如果对于所有 ε > 0 ，则随机变量序列以概率收敛于随机变量 ${X_n}$ $X$

lim_{n \to \infty} P (| X_{n} - X | > ε) = 0

$\lim_{n\rightarrow\infty} P(|X_n-X|>\varepsilon) = 0$

我想知道为什么极限 $X$ 是一个随机变量。我认为 $X$ 作为 rv 只能是一个常数，并且定义收敛到数字 $a$ 而不是 rv $X$

lim_{n \to \infty} P (| X_{n} - a | > ε) = 0

$\lim_{n\rightarrow\infty} P(|X_n-a|>\varepsilon) = 0$

使定义更加清晰。

2个回答

rv 的 $(X_n)$ 的序列可以收敛到另一个 rv $X$ 可以从示例

X_{n} = X + υ_{n} / n υ_{n} \overset{i.i.d.}{\sim} N (0, 1)

$X_n=X+\upsilon_n/n\qquad \upsilon_n\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim}\cal{N}(0,1)$ 其中

X

$X$ 是任意随机变量。确实，那么

| X_{n} - X | = | υ_{n} | / n

$|X_n-X|=|\upsilon_n|/n$ 收敛到零的概率：

P (| υ_{n} | / n > ϵ) = 2 (1 - Φ (n ϵ)) \overset{n \to \infty}{⟶} 0

$\mathbb{P}(|\upsilon_n|/n>\epsilon)=2(1-\Phi(n\epsilon))\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0$ 现在，如果

X_{n}

$X_n$ 是独立的，那么除非

是常数，否则它们不能在概率上收敛到随机变量

X

$X$

X

$X$

概率收敛到常数是概率收敛到随机变量的更一般结果的特例，因此允许更一般的情况在某种程度上是自然的。还值得记住的是，一旦你允许收敛到一个常数，甚至只是收敛到零，这足以让收敛到一个随机变量的本质，即使你没有这样命名。为了看到这一点，假设我们让表示从每个值所产生的一系列残差。根据概率收敛的定义，我们有以下等价性： $R_n = X_n - X$ $X$ $X_n$

X_{n} \overset{p}{\to} X ⟺ R_{n} \overset{p}{\to} 0.

$X_n \overset{p}{\rightarrow} X \quad \quad \iff \quad \quad R_n \overset{p}{\rightarrow} 0.$

因此，一旦将收敛概率定义为零，这也给出了收敛到随机变量的相应条件。然后将这种情况称为需要收敛到随机变量是有意义的。

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