Berry-Esseen 定理的最简单形式表明，如果$Z_n:=(X_1+\cdots+X_n)/\sqrt{n}$， 在哪里$X_i$具有均值 0 和方差 1 的独立同分布，并且$\rho:=E[|X|^3]$然后：

$$F_{Z_n}(y)=F_{N}(y)+O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\rho\right),$$

大哦在哪里是统一的$y$, 使得 CDF 的收敛$Z_n$到标准法线的 CDF 也是均匀的。这就是典型的“n>=30 对 CLT 来说足够好”的巫毒教可能来自的地方。

我的问题是什么时候发生$\rho=\infty$，例如在帕累托分布的情况下$f(x)=c/x^4$为了$x\geq 1$，或者更糟糕的随机变量$E[X^{2+\epsilon}]=\infty$为了$\epsilon>0$， 例如$P(X=i)=\frac{c}{i^3\log^2 i}, i\in\mathbb{N}$.

显然，收敛不再一致（也许在特殊情况下除外？）。这也是汉堡矩问题的非唯一性和怪异性进入的地方，因为正态分布具有有限的绝对三次矩，而$X$必须有非紧凑的支持。

但是，对于您可以预料到的不良行为，是否有一些有趣的特征？这种情况的极端（最坏情况）版本是迭代逻辑法则，它说：

$$\limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{Z_n}{\sqrt{\log\log(n)}}=_{as}\sqrt{2}.$$

我对波动的分布更感兴趣，尤其是远离平均值。我尝试搜索“具有无限绝对第三时刻的 Berry Esseen 定理”，但找不到任何相关信息。