在@Glen_b 指出明显错误后更正。草率的证明，但应该工作。

我认为我们可以使用特征函数来证明这一点。

让 X, Y 是独立同分布的。令 Z = YX 那么，

$\phi_{X-Y}(t) = E[e^{it(X-Y)}] = \phi_X(t)\phi_{-Y}(t)$.

与 CDF 类似，X 的特征函数唯一地刻画了 X 的分布，并且对于任何实值随机变量都存在。这意味着$\phi_X(t) \equiv \phi_Y(t)$.

这与线性变换下特征函数的性质一起意味着

$\phi_{-X}(t) =\phi_{X}(-t) = \phi_{Y}(-t)=\phi_{-Y}(t)$.

反过来，这意味着

$\phi_X(t)\phi_{-Y}(t) = \phi_X(t)\phi_{-X}(t) = \phi_Y(t)\phi_{-X}(t) =\phi_{Y-X}(t)$,

以便$\phi_{X-Y}(t)=\phi_{Y-X}(t)$和$Z \sim -Z$.

只是为了澄清我自己困惑的根源，我设法从谷歌书籍中哄出足够多的内容（大约 4 行！）来解决我怀疑的根源。它来自 Romano 和 Siegel*，他们实际拥有的是：

4.34 相同分布的随机变量，使得它们的差异不具有对称分布

如果$X$和$Y$是独立同分布的，那么$X-Y$具有关于零的对称分布。一般不能放弃独立性假设。（但是，如果$X$和$Y$是可以交换的，那么$X-Y$确实具有对称分布。）

我想出的一个简单的反例是$X\sim U[0,3)$和$Y=(X-1) \text{ mod } 3$， 所以$Y$也是统一的$[0,3)$并且为此$X-Y$取值$1$有概率$\frac23$和$-2$有概率$\frac13$. 这不是我刚刚发布问题后想到的那个，但是一旦你有了一个，就很容易想出更多的反例，而且这个更容易解释。（编辑：最后我设法看到了他们的从属案例的反例；很好 - 一个简单的双变量示例$\{-1,0,1\}^2$- 但我的表达更简单，所以我会把它留在那里。）

注意这里$(X,Y)$没有相同的分布$(Y,X)$——所以我们没有 R&S 提到的可交换性，这就是为什么不对称是可能的。另请注意，我的问题中的非正式论点-“互换角色$X$和$Y$“ - 直接依赖于可交换性，我们可以从该大纲中看出为什么较弱的条件应该足以实现$X-Y$和$Y-X$具有相同的分布。

* Romano, JP and Siegel, AF (1986), Counterexamples in Probability And Statistics , (Wadsworth and Brooks/Cole Statistics/Probability Series)
（我的问题是基于 1986 年末读到的一些回忆...所以毫不奇怪我对细节有点模糊）