有邋遢的方式，也有严谨的方式。邋遢的方式是速记，例如“ ”，当根据符号的正确传统含义进行解释时，它们要么是荒谬的，要么是（在此示例中）完全错误。（第二个语句的字面意思是是三个指定整数之一——它们根本不是随机变量。）这样的简写在以下情况下是有效的：（a）它的含义被定义，（b）集合论符号不得以其他方式使用。$X\in\{1,2,3\}$$X$

回想一下，所有随机变量都是定义在概率空间上的可测量函数，规定可以采用给定值集的标准方法是使用函数符号来指定其图像，如$X$

$$X:\Omega\to\{1,2,3\}$$

或者

$$X(\Omega) = \{1,2,3\}.$$

许多统计作者避免使用这种符号，因为他们更喜欢抑制对的所有引用，这旨在保持抽象，或者他们甚至认为随机变量是某种类型的对象，其中甚至不是一个确定的集合。等价符号避免引用，例如规定$\Omega$$\Omega$$\Omega$

$$\text{Image}(X) = \{1,2,3\}.$$

非常令人困惑的是，一些统计作者使用术语“域”来指代的图像（而在数学中，“域”一词总是指！）。谷歌搜索很容易找到“域”的这种用法。其他人使用诸如“定义在”或“接受”之类的短语，例如“取值 ”或“在上定义”（由它们实际上是指 X 的概率质量函数不是本身）。$X$$\Omega$$X$$\{1,2,3\}$$X$$\{1,2,3\}$$X$$X$

有一些间接的方法可以引用的图像。例如，实值随机变量通常被认为与它们的分布函数几乎可以互换。这种函数的支持在概率论和测度论中有一个完善的定义；在有限离散随机变量的情况下，它将与的图像重合。写这些东西的人通常会为此采用一些助记符，例如$X$$X$$X$

$$\text{supp}(X) = \{1,2,3\}.$$

最后，这有助于我们理解如何会出现对“域”含义的这种混淆。如果我们将随机变量与其概率质量函数 (pmf)，由概率给出$X$$p_X$

$$p_X(x) = \Pr(X=x),$$

然后在示例中仅当时。如果我们愿意，我们可以将（理论上是定义在上的函数）限制为子集而不会丢失它传达的任何信息. 这将使成为受限的（数学上正确的）域。$p_X(x)\ne 0$$x \in \{1,2,3\}$$p_X$$\mathbb{R}$$\{1,2,3\}\subset\mathbb{R}$$\{1,2,3\}$$p_X$

的完整描述将包括 pmf，是的。例如... ...看起来有点笨拙，或者用文字来做：是离散随机数中的变量，概率。$X$

$$X \in \{1,2,3\} \\ \mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{12} \\ \mathbb{P}(X=2)=\frac{7}{12} \\ \mathbb{P}(X=2)=\frac{1}{3}$$ $X$$\{1,2,3\}$$p_1=\frac{1}{12}, p_2=\frac{7}{12}, p_3=\frac{1}{3}$