机器算法验证 - 通过线性方程组传播不确定性 - 吾爱随笔录 - 问答

通过线性方程组传播不确定性

机器算法验证测量误差错误传播

2022-04-01 12:29:28

如果我有一个方程组， $Ax=B$ 其中的元素 $B$ 已经通过实验确定，因此每个元素都有一些不确定性，我如何将其传播到 $x$ ?

[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{11} \\ x_{21} \end{matrix}] = [\begin{matrix} b_{11} \pm σ_{b_{11}} \\ b_{21} \pm σ_{b_{21}} \end{matrix}]

$\left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x_{11}\\x_{21}\end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} b_{11}\pm\sigma_{b_{11}}\\b_{21}\pm\sigma_{b_{21}}\end{matrix}\right]$

例如，在像上面这样的系统中，我如何解释错误 $B$ 求解时 $x$ ? 我试图找到 $\sigma_{x_{11}}$ 和 $\sigma_{x_{12}}$ .

1个回答

让我翻译成统计学家。所以 $B$ 是一个随机变量，其中 $B = \beta + \varepsilon$ ，和 $\text{Var}(\varepsilon)$ = $\Sigma_B$ ，为了 $\Sigma_B$ 已知。进行观察，观察值 $B$ 是 $b$ .

假设 $A$ 是可逆的，解 $Ax = b$ 是 $A^{-1}b$ . 让 $C = A^{-1}$ 暂时。

$\text{Var}(Cb) = C\,\text{Var}(b)\,C^\top = A^{-1} \Sigma_B (A^{-1})^\top$

如果两个组件 $b$ 是独立的，那么 $\Sigma_B$ 是对角线，对角线是你的正方形 $\sigma$ 的。的方差-协方差矩阵 $x$ 通常不是对角线，这意味着这些值是相关的。对角线元素的平方根 $A^{-1} \Sigma_B (A^{-1})^\top$ 是组件的标准偏差 $x$ .

这种方法也适用于两个以上的维度。

其它你可能感兴趣的问题

上一篇如何处理因子分析中对两个因子的负载相等的变量？下一篇贝叶斯后验：均值与最高概率