机器算法验证 - 具有不同速率参数的两个伽马随机变量的商的分布？ - 吾爱随笔录

具有不同速率参数的两个伽马随机变量的商的分布？

机器算法验证分布数理统计随机变量伽马分布贝塔分布

2022-04-09 16:14:33

我有一个问题，关于如何从两个具有相同形状但不同比率的不同 Gamma 分布中得出两个随机 Gamma 变量的商的分布。例如，给定如何找到以下分布？

θ \sim \frac{1}{G a m m a (a, c_{1})} τ \sim \frac{1}{G a m m a (b, c_{2})}

$\theta \sim \frac{1}{Gamma(a, c_1)} \\ \tau \sim \frac{1}{Gamma(b, c_2)}$

M = \frac{τ}{σ + τ}

$M = \frac{\tau}{\sigma + \tau}$

我在网上看到如果。但是如果呢？

M \sim \frac{1}{B e t a (a + b, c)}

$M \sim \frac{1}{Beta(a+b,c)}$

c_{1} = c_{2}

$c_1 = c_2$

c_{1} \neq c_{2}

$c_1 \neq c_2$

1个回答

如果独立于则比率具有参数和的Beta 素数分布。 $X \sim Gamma(a,1)$ $Y \sim Gamma(b,1)$ $X/Y$ $a$ $b$

事实上，如果将速率参数的公共值（）替换为任何其他值，结果仍然成立，因为速率参数具有这样的性质：如果，则对于任何。 $1$ $X \sim Gamma(a,S)$ $\lambda \times X \sim Gamma(a, S/\lambda)$ $\lambda >0$

因此，独立于，那么比率具有相同的分布其中独立于。因此，用表示Beta 素数分布的 pdf，则的 pdf为。这种按比例缩放的 Beta 素数分布没有专门的名称。 $X' \sim Gamma(a,c_1)$ $Y' \sim Gamma(b,c_2)$ $X'/Y'$ $\frac{c_2}{c_1} \times X/Y$ $X \sim Gamma(a,1)$ $Y \sim Gamma(b,1)$ $f$ $X'/Y'$ $r \mapsto \frac{c_1}{c_2} f(\frac{c_1}{c_2} r)$

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