机器算法验证 - 泊松分布的阶数统计 - 吾爱随笔录

泊松分布的阶数统计

机器算法验证自习泊松分布订单统计概率不等式

2022-04-03 18:56:14

我收到了以下问题，

令和的独立同分布随机变量。令表示相应的订单统计。 $n ≥ 2$ $X_1, X_2, . . . ,X_n$ $Poisson (λ)$ $λ > 0$ $X_{(1)} ≤ X_{(2)} ≤ · · · ≤ X_{(n)}$

(a) 证明 $P(X_{(2)} = 0) ≥ 1 − n(1 − e^{−λ})^{n−1}$ 。

$P(X_{(2)} > 0)$ 的极限评估为样本大小 $n → ∞$ 。

我尝试自己解决这个问题，我也能够获得以下表达式； $P(X_{(2)}=0) = 1 - (1-e^{-\lambda})^n-ne^{-\lambda}(1-e^{-\lambda})^{n-1}$

$= 1-(1-e^{-\lambda})^{n-1}(1+e^{-\lambda}(n-1))$ ;

然后可以证明

$(1+e^{-\lambda}(n-1)) \le n \quad \text{for all } \lambda > 0 \text{ and } n \ge 2$

因此

$P(X_{(2)} = 0) ≥ 1 − n(1 − e^{−λ})^{n−1}$

但我想问一下，这句话有什么意义。我的意思是不等式左侧的数量是否有任何意义，以便可以直观地或通过任何其他方法得出不等式？

2个回答

$\mathbb{P}(X_{(2)} = 0)$ 询问第二小的 rv 为零的概率。换句话说，它要求中至少有两个 为零的概率。 $X_1, \cdots X_n$

中至少有个大于零”中至少有两个零”的说法是错误的。的概率发生，您有选择（选择哪rvs，或者离开哪一个out)，并且对于每个选择，您都需要它们中的所有大于零，并且不假设您遗漏的那个（即添加另一个乘数）。 $X_1, \cdots, X_n$ $n-1$ $X_1, \cdots, X_n$

n (1 - e^{- λ})^{(n - 1)}

$n(1 - e^{-\lambda})^{(n-1)}$

n

$n$

n - 1

$n-1$

n - 1

$n-1$

1

$1$

引用的概率是上限，因为该事件是所有证伪该陈述的事件中限制最少的事件，并且任何其他事件将至少具有相同或更多限制性。例如，可以对选择过程中遗漏的一个变量设置条件，但这涉及对变量的值做出更多假设。减少事件的基数（对其子集）不会增加该事件发生的概率，如Maths.SE 问题所示。

为了获得所需的概率，将事件从整个事件空间中排除在考虑之外就足够了。因此，问题的 RHS ( ) 形成了所需概率的下限。 $1 - n(1 - e^{-\lambda})^{(n-1)}$

给定：表示上绘制的随机样本，其中与 pmf： $(X_1, ...,X_n)$ $n$ $X$ $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$ $f(x)$

的样本中，阶统计量的 pmf为： $2^{\text{nd}}$ $n$ $g(x)$

... 在哪里：

我正在使用Mathematica的mathStatica包中的OrderStat函数来自动化细节，并且
Beta[z,a,b]表示不完全 Beta 函数 $\int _0^z t^{a-1} (1-t)^{b-1} dt$
Gamma[a,z]是不完全 gamma 函数 $\int _z^{\infty } t^{a-1} e^{-t} dt$

确切的期望概率很简单： $P(X_{(2)}=0)$

下图绘制并比较：

刚刚导出的精确解（红色曲线） $P(X_{(2)}=0)$
到问题中提出的边界 $P(X_{(2)} = 0) ≥ 1 − n(1 − e^{−λ})^{n−1}$

时绘制在此处。 $\lambda =3$

对于任何适当的目的，该界限似乎都没有用——即使是醉酒的猴子也可以通过简单地选择 0 来做得更好，而不是使用提出的在大量域上为负的界限（并且随着的增加会变得更糟）。 $\lambda$

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